😍 آلة حاسبة الكسور

جنبًا إلى جنب مع الكسور العشرية ، التي يمكن أن تكون مقاماتها من مضاعفات العشرة ، تُستخدم الكسور العادية على نطاق واسع في الرياضيات والعلوم ذات الصلة. يتم كتابته في صورة a / b ، حيث يمثل a البسط و b هو المقام. يمكن أن يكون الأول مساويًا لأي رقم ، ويمكن أن يكون الثاني أي رقم باستثناء الصفر.

مفهوم الكسر

الكسر هو تعبير يتم تمثيله على هيئة مقسوم / بسط ومقسوم عليه / مقام. يُطلق على الخط الأفقي / المائل الذي يفصل بينهما اسم vinculum / Solidus ، ويمكن كتابته بأحرف صغيرة: a / b. اعتمادًا على العلاقة المعيارية بين المقسوم والمقسوم عليه ، هناك كسور عادية عادية وغير صحيحة. في الأول ، تكون وحدة البسط أكبر من وحدة المقام ، وفي الثانية ، العكس.

وفقًا لذلك ، إذا قسمت عددًا أكبر على رقم أصغر ، فستحصل حتمًا على رقم نسبي - أكبر من واحد. أمثلة على هذه الكسور غير الصحيحة هي 6/5 ، 8/7 ، 11/3 ، وهكذا. التخفيض فيها مستحيل ، ويتم تسجيلها في شكلها الأصلي. إذا لزم الأمر ، يمكن حسابها عن طريق الحصول على عدد صحيح وجزء كسري: في الباقي أو ككسر عشري.

توجد أيضًا كسور مختلطة ومركبة. الأول مكتوب على شكل عدد صحيح غير سالب وكسر مناسب ، والثاني مكتوب على شكل تعبير يحتوي على عدة شرطات مائلة / خطوط أفقية.

تاريخ الكسور

يأتي جزء الاسم الإنجليزي من الكلمة اللاتينية fractura ، لكن الكسور العادية تم اختراعها قبل فترة طويلة من تشكيل الإمبراطورية الرومانية. لذلك ، استخدم المصريون القدماء تقسيم الأرقام - منذ حوالي 4000 عام. يشار إلى هذا من خلال الاكتشافات الأثرية مثل بردية الرندة الرياضية ولوح أخميم الخشبي واللفيفة الجلدية الرياضية المصرية المؤرخة من القرن العشرين إلى القرن السابع عشر قبل الميلاد.

تشير دراسات أخرى إلى أن تقسيم الأرقام قد تم أيضًا في مدينة بابل القديمة ، منذ أكثر من 3000 عام. كان البابليون هم من أدخلوا تقسيم الدرجة إلى 60 دقيقة والدقائق إلى 60 ثانية. الرقم 60 ، بالإضافة إلى نفسه ورقم واحد ، قابل للقسمة على 10 أرقام أخرى بدون باقي: من 2 إلى 30. وفقًا لذلك ، لم يتم استخدام الكسور العشرية ، ولكن الكسور الستينية في بابل.

هاجر نظام الكسور الستينية تدريجيًا من الرياضيات البابلية القديمة إلى الرياضيات اليونانية القديمة ، ومن المعروف أنه تم استخدامه بالفعل في القرن الأول الميلادي: العلماء اليونانيون القدماء ديوفانتوس الإسكندري ومالك الحزين بالإسكندرية. لقد كتبوا الكسور في شكل "أبجدي" وفي شكل "مقلوب". أي أن البسط في الأسفل والمقام في الأعلى (بدون خط فاصل). نظرًا لحقيقة أن الإغريق القدماء فهموا العدد على أنه مجموعة من الوحدات ، نادرًا ما استخدموا الكسور العادية في الحساب ، لكنهم استخدموها أحيانًا للإشارة إلى كميات غير قابلة للقياس.

أجريت دراسات مماثلة في الصين القديمة: من القرن العاشر إلى القرن الثاني قبل الميلاد. في البداية ، استخدم الصينيون الكسور العادية فقط ، ولم يتم إدخال الكسور العشرية إلا في القرن الثالث الميلادي - بعد اختراع لوحة العد suanpan (算盤). قدم الهندوس القدماء أيضًا مساهمة كبيرة في الرياضيات. هم الذين يمتلكون الشكل الحديث للكسر العادي - البسط والمقام ، مفصول بخط أفقي. بدأ الأوروبيون في استخدام هذا النظام في وقت لاحق - فقط في القرنين الثاني عشر والسادس عشر ، واستعاروه من العرب ، الذين تعلموا بدورهم هذه المعرفة من الهنود.

كان أول مفكر أوروبي يستخدم الكسور العادية (بالشكل الذي توجد به الآن) هو ليوناردو بيزا ، المعروف باسمه المستعار فيبوناتشي. في عام 1350 ، بدأ استخدام الكسور العشرية في أوروبا في الحسابات - بفضل العالم الفرنسي إيمانويل بونفيس ، ومنذ عام 1585 أصبحت الكسور العشرية الرئيسية ، لتحل محل النظام الستيني القديم.

الاستخدام العملي للكسور

اليوم ، تُستخدم الكسور العادية في كل مكان: من العلوم الدقيقة (لكتابة الصيغ) إلى الحياة اليومية. على سبيل المثال:

في رسم الخرائط. يُشار إلى المقياس دائمًا على أنه كسر طبيعي: 1/50000 ، 1/1000000. بدلاً من علامة "/" ، تُكتب النقطتان ":" غالبًا ، لكنها تعني القسمة وليس العد.
في الجغرافيا. على سبيل المثال ، وفقًا للكتب المدرسية ، تحتل أوراسيا حوالي ثلث مساحة اليابسة ، والمحيط الهادئ - نصف محيطات العالم.
في الطب. عند وصف الأدوية ، نادرًا ما يشير الأطباء إلى مقدارها بالجرام ، ويستخدمون نظامًا كسريًا أكثر ملاءمة من المقاييس: 1/3 زجاجة ، 1/2 قرص.

تُستخدم الكسور العادية حتى في المسابقات الرياضية: يعرف الجميع تعبيرات مثل "ربع النهائي" أو "نصف النهائي". على الرغم من حقيقة أن الكسور العشرية تستخدم على نطاق واسع في أجهزة الحوسبة الإلكترونية ، إلا أن الكسر المشترك لم يفقد أهميته. وفي العلوم الدقيقة ، من المستحيل الاستغناء عنها ، لأن جزءًا كبيرًا من الصيغ ، بطريقة أو بأخرى ، يحتوي على تعبيرات مثل أ / ب.

مثل الكسور العشرية ، تصلح الكسور للعمليات الحسابية الأساسية. الجمع ، والطرح ، والضرب ، والقسمة ، والرفع إلى قوة ، واستخراج الجذور - يمكن إجراء هذه العمليات بأي تعبيرات ممثلة في a / b ، حيث b لا تساوي الصفر. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن دائمًا تمثيل الكسر العشري ككسر شائع ، ويمكن تحويل الكسر المشترك دائمًا إلى كسر عشري.

الحساب مع الكسور

مقارنة الكسور

العملية الأساسية التي تسبق الجمع والطرح هي المقارنة بين كسرين مشتركين. في حالة التعبيرات 1/3 و 2/3 ، تكون الإجابة واضحة: الأولى أكبر مرتين من الثانية ، ولكن كيف تتم المقارنة عندما تختلف مقامات الأرقام؟ في هذه الحالة ، يتم إجراء عملية تُعرف بالاختزال إلى قاسم مشترك.

إذا أخذنا الكسور 1/4 و 3/7 ، فسيكون المقام المشترك بينهما هو الرقم 4 7 أو 28. وفقًا لذلك ، نضرب 1 ⋅ 7 و 3 4 ونحصل على البسطين 7 و 12 بنفس المقام 28. أولًا أقل من الثاني: 7/28 <12/28 ، 1/4 <3/7. ونسبتهم 7/12.

الجمع والطرح

لإضافة كسرين عاديين ، يجب أيضًا اختزالهما إلى مقام مشترك ، ثم إضافة المقسوم الأول إلى الثاني ، مع ترك المقسوم عليه دون تغيير. على سبيل المثال ، إذا جمعت الكسور 1/3 و 2/4 ، فسنحصل على: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. بسّط واحصل على: 5/6

يحدث الطرح وفقًا لخوارزمية مشابهة: أولاً ، يتم إيجاد قاسم مشترك ، ثم يتم طرح الثاني من البسط الأول. إذا أخذنا الكسور 3/4 و 1/5 ، فسنحصل على: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

الضرب والقسمة

لضرب الكسور ، لا يلزم الاختزال إلى قاسم مشترك ، حيث يتم ضرب الأرباح والمقسومات معًا. بشكل عام ، تبدو الصيغة كما يلي: (أ / ب) ⋅ (ج / د) = (أ ⋅ ج) / (ب ⋅ د). على سبيل المثال ، خذ الكسور 5/6 و 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1) / (6 ⋅ 3) = 5/18. إذا تم ضرب كسر عادي في رقم طبيعي ، فسيكون البسط فقط هو الذي يشارك في العملية. وهي: (1/5) ⋅ 3 = 1 3/5 = 3/5.

يتم تقسيم الكسور العادية وفقًا للمخطط العكسي. لذلك ، لقسمة الكسر a / b على الكسر c / d ، عليك ضرب a / b في d / c. باستبدال الأعداد الطبيعية بدلاً من المتغيرات ، نحصل على: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 11) / (3 ⋅ 2) = 11/6 ، أو 1 (5/6) ، حيث يشار إلى الباقي بين قوسين. الشرط الأساسي هو ألا يكون مقام الكسر الأول وبسط الكسر الثاني مساويًا للصفر ، لأن القسمة على 0 مستحيلة.

الأس واستخراج الجذر

هذه العمليات في حالة الكسور العادية هي الأبسط ، لأنها لا تتطلب إيجاد مقام مشترك أو عكس الكسور. الصيغة العامة للأس هي: (أ / ب) ⁿ = أⁿ / بⁿ. باستبدال الأرقام بدلاً من المتغيرات ، نحصل على: (2/3) ² = 2² / 3² = 4/9.

يتم استخراج الجذر بالمثل ، وفقًا للصيغة: √ (أ / ب) = √a / b. إذا استبدلنا بـ 9 بـ a و 16 لـ b ، فسنحصل على: √ (9/16) = √9 / √16 = 3/4. الشرط الأساسي للهويات هو المقام بخلاف الصفر (b 0): لكل من صيغة الأس ومعادلة استخراج الجذر.

تحويل الكسور العشرية إلى كسور مشتركة والكسور الشائعة إلى كسور عشرية

يمكن تمثيل أي كسر عشري في صورة كسر مشترك. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تمثيل الجزء الكسري كرقم طبيعي وتقسيمه على القوة المناسبة لـ 10. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل الكسور 0.234 و 0.65 بالرمز 234/1000 و 65/100 على التوالي. علاوة على ذلك ، في كلتا الحالتين سيبدو الصوتان متماثلين: مائتان وأربعة وثلاثون جزءًا من الألف وخمس وستين في المائة. يمكنك أيضًا تحويل الأعداد الصحيحة باستخدام الباقي الكسري. على سبيل المثال ، يتم تمثيل 72.86 على أنه 72 (86/100) ، حيث يمثل 72 جزءًا عددًا صحيحًا ، ويمثل 86/100 جزءًا كسريًا.

لسوء الحظ ، فإن التحويل العكسي - من كسر مشترك إلى كسر عشري - ليس فقط أكثر صعوبة ، ولكنه ليس ممكنًا دائمًا أيضًا. على الأقل - إذا كنت بحاجة إلى رقم جميل به عدد صغير من المنازل العشرية. العملية البسيطة هي فقط إذا كان المقام من مضاعفات 10. على سبيل المثال ، يمكن تحويل الكسر 4/100 بسهولة إلى 0.04 ، و 345/1000 إلى 0.345. ولكن كيف يتم التحويل إذا كان الخط الفاصل هو الرقم 7 و 11 و 14 وما إلى ذلك؟

على سبيل المثال ، لنأخذ الكسر 19/44. لتمثيلها في شكل عشري ، تحتاج إلى قسمة 19 على 44 في عمود ، ووضع فاصلة بعد 19 وإضافة الأصفار إليها على اليمين حتى الوصول إلى الترتيب المطلوب (الدقة) للحساب. سيؤدي الحساب إلى حقيقة أن الرقم سيكون 0.43181818 ... (18 في الفترة). نكتب الرقم كـ 0.43 (18) - كسر عشري دوري لانهائي ونقربه إذا لزم الأمر.

يمكنك حساب الأعداد المكونة من رقمين وثلاثة أرقام في عمود بسرعة ، ولكن عندما يتجاوز عدد الأحرف 4-5 ، يستغرق الإجراء الكثير من الوقت والجهد الذهني. لذلك ، اليوم ، لتحويل الكسور العادية إلى الكسور العشرية (والعكس صحيح) ، يتم استخدام آلات حاسبة خاصة عبر الإنترنت ، حيث يكفي إدخال القيم المعروفة والحصول على النتيجة الصحيحة على الفور.

محول الكسر إلي عشري