😍 Kəsir kalkulyatoru

Məhrəcləri yalnız ona çoxlu ola bilən onluq kəsrlərlə yanaşı, adi kəsrlər riyaziyyatda və əlaqəli elmlərdə geniş istifadə olunur. a/b kimi yazılır, burada a say, b isə məxrəcdir. Birincisi istənilən ədədə bərabər ola bilər, ikincisi isə sıfırdan başqa istənilən ədəd ola bilər.

Kəsr anlayışı

Kəsr dividend/numerator və bölücü/məxrəc kimi təmsil olunan ifadədir. Onları ayıran üfüqi/maili xətt vinculum/solidus adlanır və kiçik hərflə yazıla bilər: a/b. Dividend və bölən arasındakı modul əlaqədən asılı olaraq nizamlı və düzgün olmayan adi kəsrlər var. Birincidə say modulu məxrəc modulundan böyükdür, ikincisində isə əksinə.

Müvafiq olaraq, daha böyük rəqəmi daha kiçikə bölsəniz, qaçılmaz olaraq birdən çox rasional ədəd alacaqsınız. Belə düzgün olmayan kəsrlərə misal olaraq 6/5, 8/7, 11/3 və s. Onlarda azalma qeyri-mümkündür və onlar orijinal formada qeyd olunur. Lazım gələrsə, onlar tam və kəsr hissəsini əldə etməklə hesablana bilər: qalıqda və ya onluq kəsr kimi.

Qarışıq və mürəkkəb fraksiyalar da var. Birincisi qeyri-mənfi tam ədəd və uyğun kəsr kimi, ikincisi isə bir neçə kəsik/üfüqi xətlərdən ibarət ifadə kimi yazılır.

Kəsrlərin tarixi

İngilis dili fraksiya adı Latın fracturasından gəlir, lakin adi fraksiyalar Roma İmperiyasının yaranmasından çox əvvəl icad edilmişdir. Beləliklə, ədədlərin bölünməsi qədim misirlilər tərəfindən - təxminən 4000 il əvvəl istifadə edilmişdir. Bunu eramızdan əvvəl 20-17-ci əsrlərə aid Rinda riyazi papirusu, Axmim taxta lövhəsi və Misir riyazi dəri tumarı kimi arxeoloji tapıntılar göstərir.

Digər tədqiqatlar göstərir ki, ədədlərin bölünməsi 3000 ildən çox əvvəl qədim Babildə də aparılıb. Dərəcəni 60 dəqiqəyə, dəqiqələri isə 60 saniyəyə bölən babillilər idi. 60 rəqəmi, özündən və birindən əlavə, qalıqsız daha 10 ədədə bölünür: 2-dən 30-a qədər. Buna uyğun olaraq, Babildə onluq deyil, cinsi kiçik kəsrlərdən istifadə olunurdu.

Ceksimal kəsrlər sistemi tədricən qədim Babildən qədim Yunan riyaziyyatına köçdü və onun artıq eramızın I əsrində istifadə olunduğu etibarlı şəkildə məlumdur: qədim yunan alimləri İsgəndəriyyəli Diofant və İsgəndəriyyə Heron. Onlar kəsrləri “əlifba” və “ters çevrilmiş” formada yazırdılar. Yəni, say aşağıda, məxrəc isə yuxarıda (bölmə xətti olmadan) idi. Qədim yunanlar ədədi vahidlər toplusu kimi başa düşdüklərinə görə hesabda adi kəsrlərdən nadir hallarda istifadə edirdilər, lakin bəzən ölçüyəgəlməz kəmiyyətləri ifadə etmək üçün istifadə edirdilər.

Oxşar tədqiqatlar qədim Çində də aparılıb: eramızdan əvvəl 10-cu əsrdən 2-ci əsrə qədər. Başlanğıcda çinlilər yalnız adi kəsrlərdən istifadə edirdilər, onluqlar isə yalnız eramızın 3-cü əsrində - suanpan (算盤) hesablama lövhəsinin ixtirasından sonra tətbiq edilmişdir. Qədim hindular da riyaziyyata mühüm töhfə vermişlər. Adi kəsrin müasir formasına - üfüqi xəttlə ayrılmış say və məxrəcə sahib olan onlardır. Avropalılar bu sistemdən xeyli sonralar - yalnız XII-XVI əsrlərdə ərəblərdən borc alaraq istifadə etməyə başladılar, onlar da öz növbəsində bu biliyi hindlilərdən öyrəndilər.

Adi fraksiyalardan istifadə edən ilk avropalı mütəfəkkir (hazırda mövcud olduqları formada) daha çox Fibonaççi ləqəbi ilə tanınan Pizalı Leonardo idi. 1350-ci ildə Avropada onluq kəsrlərdən hesablamalarda istifadə olunmağa başlandı - fransız alimi İmmanuel Bonfils sayəsində onlar 1585-ci ildən köhnəlmiş sexagesimal sistemi əvəz edərək əsas kəsrlərə çevrildilər.

Kəsrlərin praktiki istifadəsi

Bu gün adi kəsrlər hər yerdə istifadə olunur: dəqiq elmlərdən (düsturların yazılması üçün) gündəlik həyata qədər. Məsələn:

Kartoqrafiyada. Şkala həmişə natural kəsr kimi göstərilir: 1/50000, 1/1000000. "/" işarəsi əvəzinə çox vaxt iki nöqtə ":" yazılır, lakin bu, sayma deyil, bölmə deməkdir.
Coğrafiyada. Məsələn, dərsliklərə görə, Avrasiya quru ərazisinin təxminən 1/3 hissəsini, Sakit Okean isə dünya okeanının 1/2 hissəsini tutur.
Tibbdə. Dərmanları təyin edərkən həkimlər nadir hallarda onların miqdarını qramla göstərir və daha rahat fraksiya sistemindən istifadə edirlər: 1/3 şüşə, 1/2 tablet.

Adi kəsrlər hətta idman yarışlarında da istifadə olunur: "finalın dörddə biri" və ya "finalın yarısı" kimi ifadələri hamı bilir. Onluq kəsrlərin elektron hesablama cihazlarında geniş istifadə olunmasına baxmayaraq, adi kəsr öz aktuallığını itirməmişdir. Dəqiq elmlərdə isə onsuz bunu etmək sadəcə mümkün deyil, çünki düsturların əhəmiyyətli bir hissəsində bu və ya digər şəkildə a / b kimi ifadələr var.

Onluqlar kimi, kəsrlər də əsas riyazi əməliyyatları yerinə yetirir. Toplama, çıxma, vurma, bölmə, gücə yüksəltmə, köklərin çıxarılması - bu əməliyyatlar a / b kimi təmsil olunan istənilən ifadələrlə yerinə yetirilə bilər, burada b sıfıra bərabər deyil. Bundan əlavə, onluq hər zaman adi kəsr kimi göstərilə bilər və adi kəsr demək olar ki, həmişə onluq kəsrə çevrilə bilər.

Kəsrlərlə hesab

Kəsrlərin müqayisəsi

Əlavə və çıxmadan əvvəl olan əsas əməliyyat iki ümumi kəsrin müqayisəsidir. 1/3 və 2/3 ifadələri vəziyyətində cavab aydındır: birincisi ikincidən 2 dəfə böyükdür, amma ədədlərin məxrəcləri fərqli olduqda necə müqayisə etmək olar? Bu halda ümumi məxrəcə endirmə kimi tanınan əməliyyat yerinə yetirilir.

1/4 və 3/7 kəsrlərini götürsək, onların ortaq məxrəci 4 ⋅ 7 və ya 28 ədədi olacaq. Müvafiq olaraq, biz 1 ⋅ 7 və 3 ⋅ 4-ü çarpaz vurub 7 və 12 ədədlərini alırıq. eyni məxrəclə 28. Beləliklə, birinci ikincidən kiçik: 7/28 < 12/28 və 1/4 < 3/7. Və onların nisbəti 7/12-dir.

Əlavə və çıxma

İki adi fraksiya əlavə etmək üçün onları da ümumi məxrəcə endirmək, sonra birinci dividendləri ikinciyə əlavə etmək, bölücü dəyişməz qalmaq lazımdır. Məsələn, 1/3 və 2/4 fraksiyalarını əlavə etsəniz, alırıq: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Sadələşdirin və əldə edin: 5/6.

Çıxma oxşar alqoritmə uyğun olaraq baş verir: əvvəlcə ortaq məxrəc tapılır, sonra isə birinci paydan ikincisi çıxarılır. 3/4 və 1/5 kəsrlərini götürsək, alırıq: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Vurma və bölmə

Kəsrləri çoxaltmaq üçün ortaq məxrəcə endirmə tələb olunmur, dividendlər və bölənlər sadəcə vurulur. Ümumiyyətlə, düstur belə görünür: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Məsələn, 5/6 və 1/4 fraksiyalarını götürün: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Əgər adi kəsr natural ədədə vurulursa, onda əməliyyatda yalnız paylayıcı iştirak edir. Yəni: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Adi fraksiyaların bölünməsi tərs sxem üzrə aparılır. Deməli, a/b kəsrini c/d kəsrinə bölmək üçün a/b-ni d/c-yə vurmaq lazımdır. Dəyişənlərin yerinə natural ədədləri əvəz etməklə, alırıq: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, və ya 1 (5/6), burada qalan hissəsi mötərizədə göstərilmişdir. Əsas şərt odur ki, birinci kəsrin məxrəci ilə ikincinin payı sıfıra bərabər olmamalıdır, çünki 0-a bölmək mümkün deyil.

Üstlənmə və kökün çıxarılması

Adi kəsrlərlə bağlı bu əməliyyatlar ən sadədir, çünki onlar ümumi məxrəcin tapılmasını və ya əks kəsrlərin tapılmasını tələb etmir. Göstəricinin ümumi düsturu belədir: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Dəyişənlərin yerinə ədədləri əvəz etməklə əldə edirik: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Kökün çıxarılması oxşar şəkildə, düsturla aparılır: √(a/b) = √a/√b. a üçün 9, b üçün 16 əvəz etsək, alarıq: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Eyniliklər üçün ilkin şərt sıfırdan fərqli məxrəcdir (b ≠ 0): həm eksponentasiya düsturu, həm də kök çıxarma düsturları üçün.

Onluqları adi kəsrə və adi kəsrləri ondalığa çevirmək

İstənilən onluq kəsr adi kəsr kimi təqdim edilə bilər. Bunun üçün onun kəsr hissəsini natural ədəd kimi təqdim etməli və onu 10-un müvafiq dərəcəsinə bölmək lazımdır. Məsələn, 0,234 və 0,65 kəsrləri müvafiq olaraq 234/1000 və 65/100 kimi təmsil oluna bilər. Üstəlik, hər iki halda onlar eyni səslənəcək: iki yüz otuz dörd mində altmış beş yüzdə biri. Siz həmçinin tam ədədləri kəsr qalıqları ilə çevirə bilərsiniz. Məsələn, 72,86 72 (86/100) kimi təmsil olunur, burada 72 tam hissə, 86/100 isə kəsr hissədir.

Təəssüf ki, tərs çevirmə - adi kəsirdən ondalığa - nəinki daha çətin, həm də həmişə mümkün deyil. Ən azı - az sayda onluq yerləri olan gözəl bir nömrə lazımdırsa. Sadə əməliyyat yalnız məxrəc 10-a qat olduqda olur. Məsələn, 4/100 kəsri asanlıqla 0,04-ə, 345/1000 isə 0,345-ə çevrilə bilər. Bəs ayırıcı sətir 7, 11, 14 və s. olarsa, onu necə çevirmək olar?

Məsələn, 19/44 kəsrini götürək. Onu onluq formada göstərmək üçün sütunda 19-u 44-ə bölmək, 19-dan sonra vergül qoymaq və istədiyiniz hesablama sırasına (dəqiqliyinə) çatana qədər sağda ona sıfırlar əlavə etmək lazımdır. Hesablama, rəqəmin 0,43181818 ... (dövrdə 18) olacağına səbəb olacaqdır. Ədədi 0,43 (18) - sonsuz dövri onluq kəsr kimi yazırıq və lazım olduqda yuvarlaqlaşdırırıq.

Bir sütunda ikirəqəmli və üçrəqəmli rəqəmləri tez saya bilərsiniz, lakin simvolların sayı 4-5-i keçəndə prosedur çox vaxt və zehni səy tələb edir. Buna görə də, bu gün adi fraksiyaları onluqlara (və əksinə) çevirmək üçün xüsusi onlayn kalkulyatorlardan istifadə olunur, burada məlum dəyərləri daxil etmək və dərhal düzgün nəticə əldə etmək kifayətdir.

Kəsirdən onluğa çevirici