😍 Калкулатор на дроби

Калкулатор за преобразуване на дроби в десетични числа

Наред с десетичните дроби, чиито знаменатели могат да бъдат само кратни на десет, обикновените дроби се използват широко в математиката и свързаните с нея науки. Записва се като a/b, където a е числителят, а b е знаменателят. Първото може да бъде равно на произволно число, а второто може да бъде всяко число освен нула.

Концепцията за дроб

Дробта е израз, представен като дивидент/числител и делител/знаменател. Хоризонталната/наклонената линия, която ги разделя, се нарича vinculum/solidus и може да бъде написана с малки букви: a/b. В зависимост от модулната връзка между дивидент и делител има правилни и неправилни обикновени дроби. В първия модулът на числителя е по-голям от модула на знаменателя, а във втория - обратното.

Съответно, ако разделите по-голямо число на по-малко, неизбежно ще получите рационално число - по-голямо от едно. Примери за такива неправилни дроби са 6/5, 8/7, 11/3 и т.н. Намаляването им е невъзможно и те се записват в оригиналния си вид. Ако е необходимо, те могат да бъдат изчислени чрез получаване на цяло число и дробна част: в остатъка или като десетична дроб.

Има също смесени и съставни фракции. Първото е записано като неотрицателно цяло число и правилна дроб, а второто е записано като израз, съдържащ няколко наклонени черти/хоризонтални линии.

История на дробите

Английското име fraction идва от латинското fractura, но обикновените дроби са измислени много преди формирането на Римската империя. И така, разделянето на числата е използвано от древните египтяни - преди около 4000 години. Това се посочва от такива археологически находки като математическия папирус Ринда, дървената плоча Ахмим и египетския математически кожен свитък, датирани от 20-ти до 17-ти век пр.н.е.

Други проучвания сочат, че разделянето на числата е правено и в древен Вавилон, преди повече от 3000 години. Вавилонците са тези, които въведоха разделянето на градуса на 60 минути, а минутите на 60 секунди. Числото 60, в допълнение към себе си и единица, се дели на още 10 числа без остатък: от 2 до 30. Съответно във Вавилон не са използвани десетични, а шестдесетични дроби.

Системата на шестдесетичните дроби постепенно мигрира от древновавилонската към древногръцката математика и надеждно се знае, че е била използвана още през 1 век сл. н. е.: древногръцките учени Диофант от Александрия и Херон от Александрия. Пишеха дроби в "азбучен" вид и в "обърнат" вид. Тоест числителят беше отдолу, а знаменателят беше отгоре (без разделителна линия). Поради факта, че древните гърци са разбирали числото като набор от единици, те рядко са използвали обикновени дроби в аритметиката, но понякога са ги използвали за обозначаване на несъизмерими количества.

Подобни изследвания са извършени в древен Китай: от 10-ти до 2-ри век пр.н.е. Първоначално китайците са използвали само обикновени дроби, а десетичните знаци са въведени едва през 3 век сл. н. е. - след изобретяването на дъската за броене суанпан (算盤). Древните индуси също имат значителен принос в математиката. Именно те притежават съвременната форма на обикновена дроб - числителя и знаменателя, разделени с хоризонтална линия. Европейците започнаха да използват тази система много по-късно - едва през XII-XVI век, заимствайки я от арабите, които от своя страна научиха това знание от индийците.

Първият европейски мислител, използвал обикновени дроби (във формата, в който съществуват сега), е Леонардо от Пиза, по-известен с прякора си Фибоначи. През 1350 г. десетичните дроби започват да се използват в Европа при изчисления - благодарение на френския учен Имануел Бонфис, а от 1585 г. те стават основни, заменяйки остарялата шестдесетична система.

Практическо използване на дроби

Днес обикновените дроби се използват навсякъде: от точните науки (за писане на формули) до ежедневието. Например:

В картографията. Мащабът винаги се посочва като естествена дроб: 1/50000, 1/1000000. Вместо знака "/" често се изписва двоеточие ":", но това означава разделяне, а не изброяване.
По география. Например според учебниците Евразия заема около 1/3 от сушата, а Тихият океан - 1/2 от световния океан.
В медицината. Когато предписват лекарства, лекарите рядко посочват количеството им в грамове и използват по-удобна дробна система от мерки: 1/3 бутилка, 1/2 таблетка.

Обикновените дроби се използват дори в спортни състезания: всеки знае такива изрази като "четвърт от финала" или "половин от финала". Въпреки факта, че десетичните дроби се използват широко в електронните изчислителни устройства, обикновената дроб не е загубила значението си. И в точните науки е просто невъзможно да се направи без него, тъй като значителна част от формулите, по един или друг начин, съдържа изрази като a / b.

Калкулатор за преобразуване на десетични числа в дроби

Подобно на десетичните дроби, дробите се поддават на основни математически операции. Събиране, изваждане, умножение, деление, повишаване на степен, извличане на корени - тези операции могат да се извършват с всякакви изрази, представени като a / b, където b не е равно на нула. Освен това десетичната дроб винаги може да бъде представена като обикновена дроб, а обикновената дроб почти винаги може да бъде преобразувана в десетична.

Аритметика с дроби

Сравняване на дроби

Основната операция, която предхожда събирането и изваждането, е сравнението на две обикновени дроби. В случая с изразите 1/3 и 2/3 отговорът е очевиден: първият е 2 пъти по-голям от втория, но как да сравним, когато знаменателите на числата се различават? В този случай се извършва операция, известна като привеждане към общ знаменател.

Ако вземем дробите 1/4 и 3/7, техният общ знаменател ще бъде числото 4 ⋅ 7 или 28. Съответно умножаваме кръстосано 1 ⋅ 7 и 3 ⋅ 4 и получаваме числителите 7 и 12 със същия знаменател 28. Значи първото е по-малко от второто: 7/28 < 12/28 и 1/4 < 3/7. И съотношението им е 7/12.

Събиране и изваждане

За да се съберат две обикновени дроби, те също трябва да бъдат намалени до общ знаменател и след това да се добави първият дивидент към втория, оставяйки делителя непроменен. Например, ако съберете дробите 1/3 и 2/4, получаваме: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Опростете и получете: 5/6.

Изваждането се извършва по подобен алгоритъм: първо се намира общ знаменател и след това вторият се изважда от първия числител. Ако вземем дробите 3/4 и 1/5, получаваме: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Умножение и деление

За умножаване на дроби не е необходимо привеждане до общ знаменател, дивидентите и делителите просто се умножават заедно. Най-общо формулата изглежда така: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Например вземете дробите 5/6 и 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Ако обикновена дроб се умножи по естествено число, тогава в операцията участва само числителят. Това е: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Деленето на обикновените дроби се извършва по обратната схема. И така, за да разделите дробта a/b на дробта c/d, трябва да умножите a/b по d/c. Като заместваме естествени числа вместо променливи, получаваме: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, или 1 (5/6), където остатъкът е посочен в скоби. Основното условие е знаменателят на първата дроб и числителят на втората да не са равни на нула, тъй като деленето на 0 е невъзможно.

Потепняване и извличане на корен

Тези операции в случай на обикновени дроби са най-прости, тъй като не изискват намиране на общ знаменател или обръщане на дроби. Общата формула за степенуване е: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Като заместваме числа вместо променливи, получаваме: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Извличането на корена се извършва по подобен начин, съгласно формулата: √(a/b) = √a/√b. Ако заместим 9 с a и 16 с b, получаваме: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Предпоставка за идентичностите е знаменател, различен от нула (b ≠ 0): както за формулата за степенуване, така и за формулата за извличане на корен.

Преобразуване на десетични числа в обикновени дроби и обикновени дроби в десетични числа

Всяка десетична дроб може да бъде представена като обикновена дроб. За да направите това, трябва да представите неговата дробна част като естествено число и да го разделите на подходящата степен 10. Например дробите 0,234 и 0,65 могат да бъдат представени съответно като 234/1000 и 65/100. Освен това и в двата случая те ще звучат еднакво: двеста тридесет и четири хилядни и шестдесет и пет стотни. Можете също да конвертирате цели числа с дробни остатъци. Например 72,86 е представено като 72 (86/100), където 72 е цялото число, а 86/100 е дробната част.

За съжаление, обратното преобразуване - от обикновена дроб в десетична - е не само по-трудно, но и не винаги възможно. Най-малко - ако имате нужда от красиво число с малък брой десетични знаци. Проста операция е само ако знаменателят е кратен на 10. Например дробта 4/100 може лесно да се превърне в 0,04, а 345/1000 в 0,345. Но как да конвертирате, ако разделителната линия е числото 7, 11, 14 и т.н.?

Например, нека вземем дробта 19/44. За да го представите в десетична форма, трябва да разделите 19 на 44 в колона, като поставите запетая след 19 и добавите нули към нея вдясно, докато се достигне желаният ред (точност) на изчислението. Изчислението ще доведе до факта, че числото ще бъде 0,43181818 ... (18 в периода). Записваме числото като 0,43 (18) - безкрайна периодична десетична дроб и я закръгляме, ако е необходимо.

Можете бързо да преброите двуцифрени и трицифрени числа в колона, но когато броят на знаците надвишава 4-5, процедурата отнема много време и умствени усилия. Ето защо днес за преобразуване на обикновени дроби в десетични (и обратно) се използват специални онлайн калкулатори, където е достатъчно да въведете известни стойности и незабавно да получите правилния резултат.

Калкулатор за преобразуване на дроби в десетични числа