😍 Calculadora de fraccions

$Convertidor de fracció a decimal$

Juntament amb les fraccions decimals, els denominadors de les quals només poden ser múltiples de deu, les fraccions ordinàries s'utilitzen àmpliament en matemàtiques i ciències relacionades. S'escriu com a/b, on a és el numerador i b és el denominador. El primer pot ser igual a qualsevol nombre i el segon pot ser qualsevol nombre excepte zero.

El concepte de fracció

Una fracció és una expressió representada com a dividend/numerador i divisor/denominador. La línia horitzontal/inclinada que els separa s'anomena vinculum/solidus, i es pot escriure en minúscula: a/b. Segons la relació modular entre el dividend i el divisor, hi ha fraccions ordinàries regulars i impropis. En el primer, el mòdul numerador és més gran que el mòdul denominador, i en el segon, viceversa.

En conseqüència, si divideix un nombre més gran per un de més petit, inevitablement obtindreu un nombre racional, més gran que un. Exemples d'aquestes fraccions impropis són 6/5, 8/7, 11/3, etc. La reducció d'ells és impossible i es registren en la seva forma original. Si cal, es poden calcular obtenint un enter i una part fraccionària: a la resta o com a fracció decimal.

També hi ha fraccions mixtes i compostes. El primer s'escriu com un nombre enter no negatiu i una fracció pròpia, i el segon s'escriu com una expressió que conté diverses barres inclinades/línies horitzontals.

Història de fraccions

El nom anglès fracció prové del llatí fractura, però les fraccions ordinàries es van inventar molt abans de la formació de l'Imperi Romà. Per tant, els antics egipcis van utilitzar la divisió de nombres, fa uns 4000 anys. Així ho indiquen troballes arqueològiques com el papir matemàtic Rinda, la tauleta de fusta d'Akhmim i el rotlle de cuir matemàtic egipci datat dels segles XX al XVII aC.

Altres estudis indiquen que la divisió de nombres també es va fer a l'antiga Babilònia, fa més de 3.000 anys. Van ser els babilonis els que van introduir la divisió d'un grau en 60 minuts i els minuts en 60 segons. El nombre 60, a més de si mateix i un, és divisible per 10 nombres més sense resta: del 2 al 30. En conseqüència, a Babilònia no es van utilitzar fraccions decimals, sinó sexagesimals.

El sistema de fraccions sexagesimals va emigrar gradualment de l'antiga matemàtica babilònica a l'antiga grega, i se sap de manera fiable que ja s'utilitzava al segle I dC: els científics grecs antics Diofant d'Alexandria i Heron d'Alexandria. Van escriure fraccions en forma "alfabètica" i en forma "invertida". És a dir, el numerador estava a la part inferior, i el denominador estava a la part superior (sense línia divisòria). A causa del fet que els antics grecs entenien el nombre com un conjunt d'unitats, poques vegades utilitzaven fraccions ordinàries en l'aritmètica, però de vegades les feien servir per indicar quantitats inconmensurables.

Estudis similars es van dur a terme a l'antiga Xina: dels segles X al II aC. Inicialment, els xinesos utilitzaven només fraccions ordinàries, i els decimals només es van introduir al segle III dC, després de la invenció del tauler de comptar suanpan (算盤). Els antics hindús també van fer una contribució significativa a les matemàtiques. Són ells els que posseeixen la forma moderna d'una fracció ordinària: el numerador i el denominador, separats per una línia horitzontal. Els europeus van començar a utilitzar aquest sistema molt més tard, només als segles XII-XVI, agafant-lo en préstec dels àrabs, que, al seu torn, van aprendre aquest coneixement dels indis.

El primer pensador europeu que va utilitzar fraccions ordinàries (en la forma en què existeixen ara) va ser Leonardo de Pisa, més conegut pel seu sobrenom de Fibonacci. L'any 1350, les fraccions decimals es van començar a utilitzar a Europa en els càlculs, gràcies al científic francès Immanuel Bonfils, i a partir de 1585 es van convertir en les principals, substituint el sistema sexagesimal obsolet.

Ús pràctic de les fraccions

Avui, les fraccions ordinàries s'utilitzen a tot arreu: des de les ciències exactes (per escriure fórmules) fins a la vida quotidiana. Per exemple:

En cartografia. L'escala sempre s'indica com a fracció natural: 1/50000, 1/1000000. En lloc del signe "/", sovint s'escriu els dos punts ":", però significa divisió, no enumeració.
En geografia. Per exemple, segons els llibres de text, Euràsia ocupa aproximadament 1/3 de la terra i l'oceà Pacífic - 1/2 dels oceans del món.
En medicina. Quan prescriuen medicaments, els metges poques vegades indiquen la seva quantitat en grams i utilitzen un sistema de mesures fraccionades més convenient: 1/3 d'ampolla, 1/2 comprimit.

Les fraccions ordinàries s'utilitzen fins i tot a les competicions esportives: tothom coneix expressions com "un quart de final" o "la meitat de la final". Malgrat que les fraccions decimals s'utilitzen àmpliament en dispositius informàtics electrònics, la fracció comuna no ha perdut la seva rellevància. I en les ciències exactes, simplement és impossible prescindir-ne, ja que una part important de les fórmules, d'una manera o altra, conté expressions com a/b.

$Convertidor de decimal a fracció$

Com els decimals, les fraccions es presten a operacions matemàtiques bàsiques. Suma, resta, multiplicació, divisió, elevació a una potència, extracció d'arrels: aquestes operacions es poden realitzar amb qualsevol expressió representada com a / b, on b no és igual a zero. A més, un decimal sempre es pot representar com una fracció comuna i una fracció comuna gairebé sempre es pot convertir en decimal.

Aritmètica amb fraccions

Comparació de fraccions

L'operació bàsica que precedeix la suma i la resta és la comparació de dues fraccions comunes. En el cas de les expressions 1/3 i 2/3, la resposta és evident: la primera és 2 vegades més gran que la segona, però com es pot comparar quan els denominadors dels nombres difereixen? En aquest cas, es realitza una operació coneguda com a reducció a un denominador comú.

Si prenem les fraccions 1/4 i 3/7, el seu denominador comú serà el nombre 4 ⋅ 7, o 28. En conseqüència, multipliquem encreuament 1 ⋅ 7 i 3 ⋅ 4 i obtenim els numeradors 7 i 12 amb el mateix denominador 28. Per tant, el primer menys que el segon: 7/28 < 12/28, i 1/4 < 3/7. I la seva relació és de 7/12.

Sumes i restes

Per sumar dues fraccions ordinàries, també s'han de reduir a un denominador comú i després afegir el primer dividend al segon, deixant el divisor sense canvis. Per exemple, si sumeu les fraccions 1/3 i 2/4, obtenim: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Simplifica i aconsegueix: 5/6.

La resta es fa d'acord amb un algorisme similar: primer es troba un denominador comú i després es resta el segon del primer numerador. Si prenem les fraccions 3/4 i 1/5, obtenim: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Multiplicació i divisió

Per multiplicar fraccions, no és necessària la reducció a un denominador comú, els dividends i els divisors simplement es multipliquen junts. En general, la fórmula té aquest aspecte: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Per exemple, prenem les fraccions 5/6 i 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Si es multiplica una fracció ordinària per un nombre natural, només el numerador intervé en l'operació. És a dir: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

La divisió de fraccions ordinàries es realitza segons l'esquema invers. Per tant, per dividir la fracció a/b per la fracció c/d, heu de multiplicar a/b per d/c. Substituint nombres naturals en lloc de variables, obtenim: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, o 1 (5/6), on la resta s'indica entre parèntesis. La condició principal és que el denominador de la primera fracció i el numerador de la segona no siguin iguals a zero, ja que la divisió per 0 és impossible.

Exponenciació i extracció d'arrel

Aquestes operacions en el cas de les fraccions ordinàries són les més senzilles, ja que no requereixen trobar un denominador comú ni invertir fraccions. La fórmula general per a l'exponenciació és: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Substituint nombres en lloc de variables, obtenim: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

L'extracció de l'arrel es realitza de manera similar, segons la fórmula: √(a/b) = √a/√b. Si substituïm a per 9 i b per 16, obtenim: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Un requisit previ per a les identitats és un denominador diferent de zero (b ≠ 0): tant per a la fórmula d'exponenciació com per a la fórmula d'extracció d'arrel.

Conversió de decimals a fraccions comunes i de fraccions comunes a decimals

Qualsevol fracció decimal es pot representar com una fracció comuna. Per fer-ho, heu de representar la seva part fraccionària com a nombre natural i dividir-la per la potència adequada de 10. Per exemple, les fraccions 0,234 i 0,65 es poden representar com 234/1000 i 65/100, respectivament. A més, en ambdós casos sonaran igual: dues-centes trenta-quatre mil·lèsimes i seixanta-cinc centèsimes. També podeu convertir nombres enters amb restes fraccionàries. Per exemple, 72,86 es representa com 72 (86/100), on 72 és la part sencera i 86/100 és la part fraccionària.

Malauradament, la conversió inversa, d'una fracció comuna a un decimal, no només és més difícil, sinó que tampoc sempre és possible. Almenys, si necessiteu un nombre bonic amb un petit nombre de decimals. Una operació simple és només si el denominador és múltiple de 10. Per exemple, la fracció 4/100 es pot convertir fàcilment en 0,04 i 345/1000 en 0,345. Però, com es pot convertir si la línia separadora és el número 7, 11, 14, etc.?

Per exemple, prenem la fracció 19/44. Per representar-lo en forma decimal, cal dividir 19 per 44 en una columna, posant una coma després de 19 i afegint-hi zeros a la dreta fins que s'arribi a l'ordre de càlcul desitjat (exactitud). El càlcul portarà al fet que el nombre serà 0,43181818 ... (18 en el període). Escrivim el nombre com a 0,43 (18), una fracció decimal periòdica infinita i l'arrodonim si cal.

Podeu comptar ràpidament nombres de dos i tres dígits en una columna, però quan el nombre de caràcters supera els 4-5, el procediment requereix molt de temps i esforç mental. Per tant, avui dia, per convertir fraccions ordinàries a decimals (i viceversa), s'utilitzen calculadores en línia especials, on n'hi ha prou amb introduir valors coneguts i obtenir el resultat correcte a l'instant.