😍 Brøklommeregner

Sammen med decimalbrøker, hvis nævnere kun kan være multipla af ti, er almindelige brøker meget brugt i matematik og beslægtede videnskaber. Det skrives som a/b, hvor a er tælleren og b er nævneren. Det første kan være lig med et hvilket som helst tal, og det andet kan være et hvilket som helst tal undtagen nul.

Begrebet brøk

En brøk er et udtryk repræsenteret som udbytte/tæller og divisor/nævner. Den vandrette/skrå linje, der adskiller dem, kaldes vinculum/solidus, og kan skrives med små bogstaver: a/b. Afhængig af det modulære forhold mellem udbyttet og divisor er der regelmæssige og uægte almindelige brøker. I det første er tællermodulet større end nævnermodulet, og i det andet omvendt.

Hvis du dividerer et større tal med et mindre, vil du derfor uundgåeligt få et rationelt tal - større end et. Eksempler på sådanne ukorrekte fraktioner er 6/5, 8/7, 11/3 og så videre. Det er umuligt at reducere dem, og de er registreret i deres oprindelige form. Om nødvendigt kan de beregnes ved at opnå et heltal og en brøkdel: i resten eller som en decimalbrøk.

Der er også blandede og sammensatte fraktioner. Det første er skrevet som et ikke-negativt heltal og en egen brøk, og det andet er skrevet som et udtryk, der indeholder flere skråstreger/vandrette linjer.

Historie over brøker

Den engelske navnebrøk kommer fra det latinske fractura, men almindelige fraktioner blev opfundet længe før dannelsen af Romerriget. Så opdelingen af tal blev brugt af de gamle egyptere - for omkring 4000 år siden. Dette indikeres af sådanne arkæologiske fund som den matematiske Rinda-papyrus, Akhmim-trætavlen og den egyptiske matematiske læderrulle dateret fra det 20. til det 17. århundrede f.Kr.

Andre undersøgelser viser, at der også blev foretaget talopdeling i det gamle Babylon for mere end 3.000 år siden. Det var babylonierne, der indførte opdelingen af en grad i 60 minutter og minutter i 60 sekunder. Tallet 60, ud over sig selv og et, er deleligt med 10 flere tal uden en rest: fra 2 til 30. Følgelig blev ikke decimale, men sexagesimale brøker brugt i Babylon.

Systemet med sexagesimale fraktioner migrerede gradvist fra oldtidens babylonske til oldgræsk matematik, og det er pålideligt kendt, at det blev brugt allerede i det 1. århundrede e.Kr.: de antikke græske videnskabsmænd Diophantus af Alexandria og Heron af Alexandria. De skrev brøker i "alfabetisk" form og i "omvendt" form. Det vil sige, at tælleren var nederst, og nævneren var øverst (uden skillelinje). På grund af det faktum, at de gamle grækere forstod tallet som et sæt af enheder, brugte de sjældent almindelige brøker i aritmetik, men brugte dem nogle gange til at betegne inkommensurable størrelser.

Lignende undersøgelser blev udført i det gamle Kina: fra det 10. til det 2. århundrede f.Kr. I begyndelsen brugte kineserne kun almindelige brøker, og decimaler blev først indført i det 3. århundrede e.Kr. - efter opfindelsen af suanpan (算盤) tællebrættet. De gamle hinduer ydede også et væsentligt bidrag til matematikken. Det er dem, der ejer den moderne form af en almindelig brøk - tælleren og nævneren, adskilt af en vandret linje. Europæere begyndte at bruge dette system meget senere - kun i XII-XVI århundreder og lånte det fra araberne, som til gengæld lærte denne viden fra indianerne.

Den første europæiske tænker, der brugte almindelige brøker (i den form, de findes i nu) var Leonardo af Pisa, bedre kendt under sit øgenavn Fibonacci. I 1350 begyndte decimalbrøker at blive brugt i Europa i beregninger - takket være den franske videnskabsmand Immanuel Bonfils, og fra 1585 blev de de vigtigste, og erstattede det forældede sexagesimale system.

Praktisk brug af brøker

I dag bruges almindelige brøker overalt: fra de eksakte videnskaber (til at skrive formler) til hverdagen. For eksempel:

I kartografi. Skalaen er altid angivet som en naturlig brøk: 1/50000, 1/1000000. I stedet for tegnet "/" skrives der ofte et kolon ":", men det betyder division, ikke opregning.
I geografi. For eksempel, ifølge lærebøger, optager Eurasien omkring 1/3 af landet, og Stillehavet - 1/2 af verdenshavene.
I medicin. Når læger ordinerer lægemidler, angiver lægerne sjældent deres mængde i gram og bruger et mere bekvemt brøkmålssystem: 1/3 flaske, 1/2 tablet.

Almindelige brøker bruges selv i sportskonkurrencer: alle kender udtryk som "en fjerdedel af finalen" eller "halvdelen af finalen". På trods af det faktum, at decimalbrøker er meget udbredt i elektroniske computerenheder, har den almindelige fraktion ikke mistet sin relevans. Og i de eksakte videnskaber er det simpelthen umuligt at undvære det, da en væsentlig del af formlerne på den ene eller den anden måde indeholder udtryk som a / b.

Ligesom decimaler egner brøker sig til grundlæggende matematiske operationer. Addition, subtraktion, multiplikation, division, hævning til en potens, udtrækning af rødder - disse operationer kan udføres med alle udtryk repræsenteret som a / b, hvor b ikke er lig med nul. Derudover kan en decimal altid repræsenteres som en fælles brøk, og en fælles brøk kan næsten altid konverteres til en decimal.

Aritmetik med brøker

Sammenligning af brøker

Den grundlæggende operation, der går forud for addition og subtraktion, er sammenligningen af to almindelige brøker. I tilfælde af udtrykkene 1/3 og 2/3 er svaret indlysende: det første er 2 gange større end det andet, men hvordan sammenligner man, når nævnerne i tallene er forskellige? I dette tilfælde udføres en operation kendt som reduktion til en fællesnævner.

Hvis vi tager brøkerne 1/4 og 3/7, vil deres fællesnævner være tallet 4 ⋅ 7 eller 28. Følgelig krydsformer vi 1 ⋅ 7 og 3 ⋅ 4 og får tællerne 7 og 12 med samme nævner 28. Så den første mindre end den anden: 7/28 < 12/28, og 1/4 < 3/7. Og deres forhold er 7/12.

Addition og subtraktion

For at tilføje to almindelige brøker skal de også reduceres til en fællesnævner, og derefter lægge den første udbytte til den anden, så divisoren forbliver uændret. For eksempel, hvis du tilføjer brøkerne 1/3 og 2/4, får vi: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Forenkle og få: 5/6.

Subtraktion sker ifølge en lignende algoritme: først findes en fællesnævner, og derefter trækkes den anden fra den første tæller. Hvis vi tager brøkerne 3/4 og 1/5, får vi: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Multiplikation og division

For at gange brøker er reduktion til en fællesnævner ikke påkrævet, udbytter og divisorer ganges simpelthen sammen. Generelt ser formlen således ud: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Tag for eksempel brøkerne 5/6 og 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Hvis en almindelig brøk ganges med et naturligt tal, er kun tælleren involveret i operationen. Det vil sige: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Opdelingen af almindelige brøker udføres efter det omvendte skema. Så for at dividere brøken a/b med brøken c/d, skal du gange a/b med d/c. Ved at erstatte naturlige tal i stedet for variable får vi: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, eller 1 (5/6), hvor resten er angivet i parentes. Hovedbetingelsen er, at nævneren for den første brøk og tælleren i den anden ikke må være lig med nul, da division med 0 er umulig.

Eksponentiering og rodudvinding

Disse operationer i tilfælde af almindelige brøker er de enkleste, da de ikke kræver at finde en fællesnævner eller vende brøker. Den generelle formel for eksponentiering er: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Ved at erstatte tal i stedet for variable får vi: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Udtrækningen af roden udføres på samme måde, ifølge formlen: √(a/b) = √a/√b. Hvis vi erstatter 9 med a og 16 for b, får vi: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. En forudsætning for identiteter er en anden nævner end nul (b ≠ 0): både for eksponentieringsformlen og for rodekstraktionsformlen.

Konvertering af decimaler til almindelige brøker og almindelige brøker til decimaler

Enhver decimalbrøk kan repræsenteres som en almindelig brøk. For at gøre dette skal du repræsentere dets brøkdel som et naturligt tal og dividere det med den passende potens af 10. For eksempel kan brøkerne 0,234 og 0,65 repræsenteres som henholdsvis 234/1000 og 65/100. Desuden vil de i begge tilfælde lyde det samme: to hundrede og fireogtredive tusindedele og femogtres hundrededele. Du kan også konvertere hele tal med brøkrester. For eksempel er 72,86 repræsenteret som 72 (86/100), hvor 72 er en heltalsdel, og 86/100 er en brøkdel.

Desværre er den omvendte konvertering - fra en almindelig brøk til en decimal - ikke kun vanskeligere, men heller ikke altid mulig. I hvert fald - hvis du har brug for et smukt tal med et lille antal decimaler. En simpel operation er kun, hvis nævneren er et multiplum af 10. For eksempel kan brøken 4/100 nemt omdannes til 0,04 og 345/1000 til 0,345. Men hvordan konverterer man, hvis skillelinjen er tallet 7, 11, 14 og så videre?

Lad os f.eks. tage brøken 19/44. For at repræsentere det i decimalform skal du dividere 19 med 44 i en kolonne, sætte et komma efter 19 og tilføje nuller til det til højre, indtil den ønskede rækkefølge (nøjagtighed) af beregningen er nået. Beregningen vil føre til, at tallet bliver 0,43181818 ... (18 i perioden). Vi skriver tallet som 0,43 (18) - en uendelig periodisk decimalbrøk og runder den om nødvendigt.

Du kan hurtigt tælle tocifrede og trecifrede tal i en kolonne, men når antallet af tegn overstiger 4-5, tager proceduren meget tid og mental indsats. Derfor, i dag, for at konvertere almindelige brøker til decimaler (og omvendt), bruges specielle online-beregnere, hvor det er nok at indtaste kendte værdier med det samme for at få det korrekte resultat.

Brøk til decimal-omregner