😍 Calculadora de fracciones

$Conversor de fracción a decimal$

Junto con las fracciones decimales, cuyos denominadores solo pueden ser múltiplos de diez, las fracciones ordinarias se usan mucho en matemáticas y ciencias afines. Se escribe como a/b, donde a es el numerador y b es el denominador. El primero puede ser igual a cualquier número y el segundo puede ser cualquier número excepto cero.

El concepto de fracción

Una fracción es una expresión representada como dividendo/numerador y divisor/denominador. La línea horizontal/inclinada que los separa se llama vinculum/solidus, y se puede escribir en minúsculas: a/b. Dependiendo de la relación modular entre el dividendo y el divisor, existen fracciones ordinarias regulares e impropias. En el primero, el módulo del numerador es mayor que el módulo del denominador, y en el segundo, al revés.

En consecuencia, si divide un número mayor por uno menor, inevitablemente obtendrá un número racional, mayor que uno. Ejemplos de tales fracciones impropias son 6/5, 8/7, 11/3, etc. La reducción en ellos es imposible, y se registran en su forma original. Si es necesario, se pueden calcular obteniendo un número entero y una parte fraccionaria: en el resto o como fracción decimal.

También existen fracciones mixtas y compuestas. El primero se escribe como un número entero no negativo y una fracción propia, y el segundo se escribe como una expresión que contiene varias barras/líneas horizontales.

Historia de las fracciones

El nombre en inglés fracción proviene del latín fractura, pero las fracciones ordinarias se inventaron mucho antes de la formación del Imperio Romano. Entonces, la división de números fue utilizada por los antiguos egipcios, hace unos 4000 años. Así lo indican hallazgos arqueológicos como el papiro matemático Rinda, la tablilla de madera Akhmim y el rollo de cuero matemático egipcio que datan de los siglos XX al XVII a.C.

Otros estudios indican que la división de números también se hacía en la antigua Babilonia, hace más de 3000 años. Fueron los babilonios quienes introdujeron la división de un grado en 60 minutos y de los minutos en 60 segundos. El número 60, además de sí mismo y uno, es divisible por 10 números más sin resto: del 2 al 30. En consecuencia, en Babilonia no se usaban fracciones decimales, sino sexagesimales.

El sistema de fracciones sexagesimales migró gradualmente de la antigua matemática babilónica a la antigua griega, y se sabe con certeza que ya se usaba en el siglo I d. C.: los antiguos científicos griegos Diofanto de Alejandría y Herón de Alejandría. Escribieron fracciones en forma "alfabética" y en forma "invertida". Es decir, el numerador estaba en la parte inferior y el denominador en la parte superior (sin línea divisoria). Debido al hecho de que los antiguos griegos entendían el número como un conjunto de unidades, rara vez usaban fracciones ordinarias en aritmética, pero a veces las usaban para denotar cantidades inconmensurables.

Estudios similares se llevaron a cabo en la antigua China: desde el siglo X hasta el siglo II a.C. Inicialmente, los chinos usaban solo fracciones ordinarias, y los decimales se introdujeron solo en el siglo III dC, después de la invención de la tabla de contar suanpan (算盤). Los antiguos hindúes también hicieron una contribución significativa a las matemáticas. Son ellos quienes poseen la forma moderna de una fracción ordinaria: el numerador y el denominador, separados por una línea horizontal. Los europeos comenzaron a usar este sistema mucho más tarde, solo en los siglos XII-XVI, tomándolo prestado de los árabes, quienes, a su vez, aprendieron este conocimiento de los indios.

El primer pensador europeo en utilizar fracciones ordinarias (en la forma en que existen ahora) fue Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo Fibonacci. En 1350, las fracciones decimales comenzaron a usarse en Europa en los cálculos, gracias al científico francés Immanuel Bonfils, y a partir de 1585 se convirtieron en las principales, reemplazando el obsoleto sistema sexagesimal.

Uso práctico de fracciones

Hoy en día, las fracciones ordinarias se usan en todas partes: desde las ciencias exactas (para escribir fórmulas) hasta la vida cotidiana. Por ejemplo:

En cartografía. La escala siempre se indica como fracción natural: 1/50000, 1/1000000. En lugar del signo "/", a menudo se escriben dos puntos ":", pero significa división, no enumeración.
En geografía. Por ejemplo, según los libros de texto, Eurasia ocupa aproximadamente 1/3 de la tierra y el Océano Pacífico, la mitad de los océanos del mundo.
En medicina. Al recetar medicamentos, los médicos rara vez indican su cantidad en gramos y usan un sistema de medidas fraccionado más conveniente: 1/3 botella, 1/2 tableta.

Las fracciones ordinarias se utilizan incluso en competiciones deportivas: todo el mundo conoce expresiones como "un cuarto de la final" o "la mitad de la final". A pesar de que las fracciones decimales se utilizan mucho en los dispositivos informáticos electrónicos, la fracción común no ha perdido su relevancia. Y en las ciencias exactas, es simplemente imposible prescindir de él, ya que una parte importante de las fórmulas, de una forma u otra, contiene expresiones como a / b.

$Conversor de decimal a fracción$

Al igual que los decimales, las fracciones se prestan a operaciones matemáticas básicas. Suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencia, extracción de raíces: estas operaciones se pueden realizar con cualquier expresión representada como a / b, donde b no es igual a cero. Además, un decimal siempre se puede representar como una fracción común y una fracción común casi siempre se puede convertir a un decimal.

Aritmética con fracciones

Comparar fracciones

La operación básica que precede a la suma y la resta es la comparación de dos fracciones comunes. En el caso de las expresiones 1/3 y 2/3, la respuesta es obvia: la primera es 2 veces mayor que la segunda, pero ¿cómo comparar cuando los denominadores de los números difieren? En este caso, se realiza una operación conocida como reducción a un denominador común.

Si tomamos las fracciones 1/4 y 3/7, su denominador común será el número 4 ⋅ 7, o 28. En consecuencia, multiplicamos en cruz 1 ⋅ 7 y 3 ⋅ 4 y obtenemos los numeradores 7 y 12 con el mismo denominador 28. Entonces el primero menos que el segundo: 7/28 < 12/28, y 1/4 < 3/7. Y su proporción es 7/12.

Sumas y restas

Para sumar dos fracciones ordinarias, también deben reducirse a un denominador común y luego sumar el primer dividendo al segundo, dejando el divisor sin cambios. Por ejemplo, si sumas las fracciones 1/3 y 2/4, obtenemos: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Simplifique y obtenga: 5/6.

La resta ocurre de acuerdo con un algoritmo similar: primero, se encuentra un denominador común y luego se resta el segundo del primer numerador. Si tomamos las fracciones 3/4 y 1/5, obtenemos: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Multiplicación y división

Para multiplicar fracciones, no se requiere la reducción a un denominador común, los dividendos y los divisores simplemente se multiplican entre sí. En general, la fórmula se ve así: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Por ejemplo, toma las fracciones 5/6 y 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Si una fracción ordinaria se multiplica por un número natural, entonces solo el numerador está involucrado en la operación. Es decir: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

La división de fracciones ordinarias se realiza según el esquema inverso. Entonces, para dividir la fracción a/b por la fracción c/d, necesitas multiplicar a/b por d/c. Sustituyendo números naturales en lugar de variables, obtenemos: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, o 1 (5/6), donde el resto se indica entre paréntesis. La condición principal es que el denominador de la primera fracción y el numerador de la segunda no deben ser iguales a cero, ya que la división por 0 es imposible.

Exponenciación y extracción de raíz

Estas operaciones en el caso de fracciones ordinarias son las más sencillas, ya que no requieren encontrar un denominador común o invertir fracciones. La fórmula general para la exponenciación es: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Sustituyendo números en lugar de variables, obtenemos: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

La extracción de la raíz se realiza de manera similar, según la fórmula: √(a/b) = √a/√b. Si sustituimos a por 9 y b por 16, obtenemos: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Un requisito previo para las identidades es un denominador distinto de cero (b ≠ 0): tanto para la fórmula de exponenciación como para la fórmula de extracción de raíces.

Convertir decimales a fracciones comunes y fracciones comunes a decimales

Cualquier fracción decimal se puede representar como una fracción común. Para hacer esto, necesitas representar su parte fraccionaria como un número natural y dividirlo por la potencia de 10 apropiada. Por ejemplo, las fracciones 0,234 y 0,65 se pueden representar como 234/1000 y 65/100, respectivamente. Además, en ambos casos sonarán igual: doscientos treinta y cuatro milésimos y sesenta y cinco centésimos. También puede convertir números enteros con restos fraccionarios. Por ejemplo, 72,86 se representa como 72 (86/100), donde 72 es la parte entera y 86/100 es la parte fraccionaria.

Desafortunadamente, la conversión inversa, de una fracción común a un decimal, no solo es más difícil, sino que no siempre es posible. Al menos, si necesita un número hermoso con una pequeña cantidad de decimales. Una operación simple es solo si el denominador es un múltiplo de 10. Por ejemplo, la fracción 4/100 se puede convertir fácilmente en 0,04 y 345/1000 en 0,345. Pero, ¿cómo convertir si la línea de separación es el número 7, 11, 14, etc.?

Por ejemplo, tomemos la fracción 19/44. Para representarlo en forma decimal, debe dividir 19 por 44 en una columna, colocar una coma después de 19 y agregarle ceros a la derecha hasta alcanzar el orden deseado (precisión) de cálculo. El cálculo conducirá al hecho de que el número será 0.43181818 ... (18 en el período). Escribimos el número como 0,43 (18), una fracción decimal periódica infinita, y lo redondeamos si es necesario.

Puede contar rápidamente números de dos y tres dígitos en una columna, pero cuando el número de caracteres supera los 4-5, el procedimiento requiere mucho tiempo y esfuerzo mental. Por lo tanto, hoy en día, para convertir fracciones ordinarias a decimales (y viceversa), se utilizan calculadoras especiales en línea, donde basta con ingresar valores conocidos y obtener instantáneamente el resultado correcto.