😍 محاسبه‌کننده عملیات کسری اعداد

در کنار کسرهای اعشاری که مخرج آنها فقط مضربی از ده است، کسرهای معمولی به طور گسترده در ریاضیات و علوم مرتبط استفاده می شوند. به صورت a/b نوشته می شود که a صورت و b مخرج است. اولی می تواند برابر هر عددی باشد و دومی می تواند هر عددی به جز صفر باشد.

مفهوم کسری

کسری عبارتی است که به صورت سود سهام/عدد و مقسوم علیه/مخرج نشان داده می شود. خط افقی / مایل که آنها را از هم جدا می کند، vinculum/solidus نامیده می شود و می توان آن را با حروف کوچک نوشت: a/b. بسته به رابطه مدولار بین سود سهام و مقسوم علیه، کسرهای معمولی منظم و نامناسب وجود دارد. در اولی، ماژول صورت بزرگتر از ماژول مخرج است و در دومی، بالعکس.

بر این اساس، اگر یک عدد بزرگتر را بر یک کوچکتر تقسیم کنید، به ناچار یک عدد گویا - بزرگتر از یک - بدست خواهید آورد. نمونه هایی از این کسرهای نامناسب عبارتند از 6/5، 8/7، 11/3 و غیره. کاهش در آنها غیرممکن است و آنها به شکل اصلی خود ثبت می شوند. در صورت لزوم، می توان آنها را با به دست آوردن یک عدد صحیح و یک جزء کسری محاسبه کرد: در باقی مانده یا به عنوان کسری اعشاری.

کسری های مختلط و مرکب نیز وجود دارد. اولی به صورت یک عدد صحیح غیر منفی و یک کسر مناسب نوشته می‌شود و دومی به‌عنوان عبارتی حاوی چندین خط اسلش/خط افقی نوشته می‌شود.

تاریخچه کسرها

نام انگلیسی کسری از کلمه لاتین fractura گرفته شده است، اما کسری های معمولی مدت ها قبل از تشکیل امپراتوری روم اختراع شدند. بنابراین، تقسیم اعداد توسط مصریان باستان - حدود 4000 سال پیش - استفاده می شد. این را یافته‌های باستان‌شناسی مانند پاپیروس ریاضی ریندا، لوح چوبی اخمیم و طومار چرمی ریاضی مصری مربوط به قرن‌های 20 تا 17 قبل از میلاد نشان می‌دهد.

مطالعات دیگر نشان می دهد که تقسیم اعداد نیز در بابل باستان، بیش از 3000 سال پیش، انجام شده است. این بابلی ها بودند که تقسیم یک درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 ثانیه معرفی کردند. عدد 60، علاوه بر خودش و یک، بر 10 عدد دیگر بدون باقیمانده بخش پذیر است: از 2 تا 30. بر این اساس، در بابل از کسرهای اعشاری استفاده نمی شد، بلکه از کسرهای جنسی کوچک استفاده می شد.

سیستم کسری‌های جنسیتی به تدریج از بابلی باستان به ریاضیات یونان باستان مهاجرت کرد، و به طور قابل اعتماد شناخته شده است که در قرن اول بعد از میلاد از آن استفاده می‌شد: دانشمندان یونان باستان دیوفانتوس اسکندریه و هرون اسکندریه. کسرها را به صورت «الفبایی» و به صورت «معکوس» می نوشتند. یعنی صورت در پایین بود و مخرج در بالا (بدون خط تقسیم). با توجه به این واقعیت که یونانیان باستان عدد را به عنوان مجموعه ای از واحدها درک می کردند، به ندرت از کسرهای معمولی در حساب استفاده می کردند، اما گاهی اوقات از آنها برای نشان دادن مقادیر غیرقابل مقایسه استفاده می کردند.

مطالعات مشابهی در چین باستان انجام شد: از قرن 10 تا 2 قبل از میلاد. در ابتدا، چینی ها فقط از کسرهای معمولی استفاده می کردند و اعشار تنها در قرن سوم پس از میلاد - پس از اختراع تخته شمارش suanpan (算盤) معرفی شدند. هندوهای باستان نیز سهم قابل توجهی در ریاضیات داشتند. آنها هستند که شکل مدرن یک کسری معمولی را دارند - صورت و مخرج که با یک خط افقی از هم جدا شده اند. اروپایی ها خیلی دیرتر شروع به استفاده از این سیستم کردند - فقط در قرن های XII-XVI، آن را از اعراب وام گرفتند، که به نوبه خود این دانش را از هندی ها آموختند.

اولین متفکر اروپایی که از کسرهای معمولی (به شکلی که اکنون وجود دارند) استفاده کرد، لئوناردو پیزا بود که با نام مستعار فیبوناچی شناخته می شود. در سال 1350، کسرهای اعشاری در اروپا در محاسبات مورد استفاده قرار گرفتند - به لطف دانشمند فرانسوی امانوئل بونفیس، و از سال 1585 آنها به کسرهای اصلی تبدیل شدند و جایگزین سیستم منسوخ شده جنسی شدند.

استفاده عملی از کسری

امروزه کسرهای معمولی در همه جا استفاده می شود: از علوم دقیق (برای نوشتن فرمول ها) تا زندگی روزمره. به عنوان مثال:

در کارتوگرافی. مقیاس همیشه به عنوان کسر طبیعی نشان داده می شود: 1/50000، 1/1000000. به جای علامت "/"، علامت ":" اغلب نوشته می شود، اما به معنای تقسیم است، نه شمارش.
در جغرافیا. برای مثال، طبق کتاب‌های درسی، اوراسیا حدود 1/3 خشکی و اقیانوس آرام - 1/2 از اقیانوس‌های جهان را اشغال می‌کند.
در پزشکی. هنگام تجویز داروها، پزشکان به ندرت مقدار آنها را بر حسب گرم نشان می دهند و از سیستم اندازه گیری کسری راحت تری استفاده می کنند: 1/3 بطری، 1/2 قرص.

کسری های معمولی حتی در مسابقات ورزشی استفاده می شوند: همه عباراتی مانند "یک چهارم فینال" یا "یک دوم فینال" را می شناسند. علیرغم این واقعیت که کسرهای اعشاری به طور گسترده در دستگاه های محاسباتی الکترونیکی استفاده می شوند، کسر رایج ارتباط خود را از دست نداده است. و در علوم دقیق، انجام بدون آن به سادگی غیرممکن است، زیرا بخش قابل توجهی از فرمول ها، به هر صورت، شامل عباراتی مانند a / b است.

مانند اعداد اعشاری، کسرها خود را به عملیات ریاضی پایه می‌دهند. جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، افزایش به توان، استخراج ریشه - این عملیات را می توان با هر عبارتی که به عنوان a / b نشان داده شده است انجام داد، جایی که b برابر با صفر نیست. علاوه بر این، یک اعشار همیشه می تواند به عنوان یک کسری مشترک نشان داده شود، و یک کسری مشترک تقریباً همیشه می تواند به یک اعشاری تبدیل شود.

حساب با کسر

مقایسه کسرها

عملیات اساسی که مقدم بر جمع و تفریق است، مقایسه دو کسر رایج است. در مورد عبارات 1/3 و 2/3، پاسخ واضح است: اولی 2 برابر بزرگتر از دومی است، اما چگونه می توان زمانی که مخرج اعداد متفاوت است، مقایسه کرد؟ در این حالت، عملیاتی به نام کاهش به مخرج مشترک انجام می‌شود.

اگر کسرهای 1/4 و 3/7 را بگیریم، مخرج مشترک آنها عدد 4 ⋅ 7 یا 28 خواهد بود. بر این اساس، 1 ⋅ 7 و 3 ⋅ 4 را ضربدری می کنیم و اعداد 7 و 12 را بدست می آوریم. با مخرج یکسان 28. بنابراین اولی کمتر از دومی: 7/28 < 12/28، و 1/4 < 3/7. و نسبت آنها 7/12 است.

جمع و تفریق

برای جمع کردن دو کسر معمولی، باید آنها را به یک مخرج مشترک تقلیل داد و سپس تقسیم‌کننده اول را به دومی اضافه کرد و تقسیم‌کننده بدون تغییر باقی ماند. به عنوان مثال، اگر کسرهای 1/3 و 2/4 را جمع کنید، به دست می آید: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. ساده کنید و دریافت کنید: 5/6.

تفریق طبق الگوریتم مشابهی انجام می‌شود: ابتدا یک مخرج مشترک پیدا می‌شود و سپس دومی از عدد اول کم می‌شود. اگر کسرهای 3/4 و 1/5 را بگیریم، به دست می آید: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

ضرب و تقسیم

برای ضرب کسرها، کاهش به مخرج مشترک لازم نیست، تقسیم‌کننده‌ها و مقسوم‌کنندگان به سادگی با هم ضرب می‌شوند. به طور کلی، فرمول به این صورت است: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). به عنوان مثال، کسرهای 5/6 و 1/4 را در نظر بگیرید: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. اگر یک کسر معمولی در یک عدد طبیعی ضرب شود، آنگاه فقط شمارنده در این عملیات دخالت دارد. یعنی: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

تقسیم کسرهای معمولی طبق طرح معکوس انجام می شود. بنابراین، برای تقسیم کسر a/b بر کسری c/d، باید a/b را در d/c ضرب کنید. با جایگزینی اعداد طبیعی به جای متغیرها، دریافت می کنیم: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6، یا 1 (5/6)، که در آن باقیمانده در پرانتز نشان داده شده است. شرط اصلی این است که مخرج کسر اول و صورت کسر دوم نباید برابر با صفر باشد، زیرا تقسیم بر 0 غیرممکن است.

توان و استخراج ریشه

این عملیات در مورد کسرهای معمولی ساده ترین هستند، زیرا نیازی به یافتن مخرج مشترک یا معکوس کردن کسرها ندارند. فرمول کلی توان این است: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. با جایگزینی اعداد به جای متغیرها، دریافت می کنیم: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

استخراج ریشه به طور مشابه انجام می شود، طبق فرمول: √(a/b) = √a/√b. اگر 9 را به جای a و 16 را جایگزین b کنیم، به دست می آید: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. یک پیش نیاز برای هویت ها، مخرجی غیر از صفر است (b≠ 0): هم برای فرمول توان و هم برای فرمول استخراج ریشه.

تبدیل اعشار به کسری معمولی و کسری معمولی به اعشاری

هر کسری اعشاری را می توان به عنوان یک کسری معمولی نشان داد. برای این کار باید قسمت کسری آن را به عنوان یک عدد طبیعی نشان دهید و آن را بر توان مناسب 10 تقسیم کنید. برای مثال، کسرهای 0.234 و 0.65 را می توان به ترتیب 234/1000 و 65/100 نشان داد. علاوه بر این، در هر دو مورد آنها یکسان خواهند بود: دویست و سی و چهار هزارم و شصت و پنج صدم. همچنین می توانید اعداد کامل را با باقیمانده کسری تبدیل کنید. به عنوان مثال، 72.86 به عنوان 72 (86/100) نشان داده می شود، که در آن 72 قسمت صحیح است، و 86/100 قسمت کسری است.

متأسفانه، تبدیل معکوس - از کسری معمولی به اعشاری - نه تنها دشوارتر است، بلکه همیشه ممکن نیست. حداقل - اگر به یک عدد زیبا با تعداد کمی رقم اعشار نیاز دارید. یک عمل ساده فقط زمانی است که مخرج مضرب 10 باشد. برای مثال، کسر 4/100 را می توان به راحتی به 0.04 و 345/1000 را به 0.345 تبدیل کرد. اما اگر خط جداکننده عدد 7، 11، 14 و غیره باشد، چگونه تبدیل کنیم؟

به عنوان مثال، کسری 19/44 را در نظر بگیرید. برای نمایش آن به صورت اعشاری، باید 19 را بر 44 در یک ستون تقسیم کنید، بعد از 19 یک کاما قرار دهید و در سمت راست صفرها را به آن اضافه کنید تا به ترتیب (دقت) محاسبه مورد نظر برسد. محاسبه منجر به این خواهد شد که عدد 0.43181818 ... (18 در دوره) خواهد بود. عدد را 0.43 (18) می نویسیم - یک کسر اعشاری متناوب بی نهایت و در صورت لزوم آن را گرد می کنیم.

شما می توانید به سرعت اعداد دو رقمی و سه رقمی را در یک ستون بشمارید، اما زمانی که تعداد نویسه ها از 4-5 بیشتر شود، این روش زمان و تلاش ذهنی زیادی را می طلبد. بنابراین، امروزه برای تبدیل کسرهای معمولی به اعشار (و بالعکس)، از ماشین حساب های آنلاین ویژه استفاده می شود که در آن کافی است مقادیر شناخته شده را وارد کنید و فوراً نتیجه صحیح را دریافت کنید.

مبدل کسر به اعشار