😍 Calculateur de fractions

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Avec les fractions décimales, dont les dénominateurs ne peuvent être que des multiples de dix, les fractions ordinaires sont largement utilisées en mathématiques et dans les sciences connexes. Il s'écrit a/b, où a est le numérateur et b est le dénominateur. Le premier peut être égal à n'importe quel nombre, et le second peut être n'importe quel nombre sauf zéro.

Le concept de fraction

Une fraction est une expression représentée par un dividende/numérateur et un diviseur/dénominateur. La ligne horizontale/oblique qui les sépare s'appelle le vinculum/solidus, et peut s'écrire en minuscule : a/b. Selon la relation modulaire entre le dividende et le diviseur, il existe des fractions ordinaires régulières et impropres. Dans le premier, le module numérateur est supérieur au module dénominateur, et dans le second, inversement.

En conséquence, si vous divisez un nombre plus grand par un plus petit, vous obtiendrez inévitablement un nombre rationnel - supérieur à un. Des exemples de ces fractions impropres sont 6/5, 8/7, 11/3, etc. Leur réduction est impossible et ils sont enregistrés dans leur forme originale. Si nécessaire, ils peuvent être calculés en obtenant un nombre entier et une partie décimale : dans le reste ou sous forme de fraction décimale.

Il existe également des fractions mixtes et composées. Le premier est écrit sous la forme d'un entier non négatif et d'une fraction propre, et le second est écrit sous la forme d'une expression contenant plusieurs barres obliques/lignes horizontales.

Historique des fractions

Le nom anglais fraction vient du latin fractura, mais les fractions ordinaires ont été inventées bien avant la formation de l'Empire romain. Ainsi, la division des nombres était utilisée par les anciens Égyptiens - il y a environ 4000 ans. Ceci est indiqué par des découvertes archéologiques telles que le papyrus mathématique de Rinda, la tablette en bois d'Akhmim et le rouleau mathématique égyptien en cuir daté du 20e au 17e siècle avant JC.

D'autres études indiquent que la séparation des nombres a également été effectuée dans l'ancienne Babylone, il y a plus de 3 000 ans. Ce sont les Babyloniens qui ont introduit la division d'un degré en 60 minutes et des minutes en 60 secondes. Le nombre 60, en plus de lui-même et d'un, est divisible par 10 autres nombres sans reste : de 2 à 30. En conséquence, ce ne sont pas des fractions décimales, mais sexagésimales qui ont été utilisées à Babylone.

Le système des fractions sexagésimales a progressivement migré des mathématiques babyloniennes antiques vers les mathématiques grecques antiques, et on sait de manière fiable qu'il était déjà utilisé au 1er siècle après JC : les anciens scientifiques grecs Diophante d'Alexandrie et Héron d'Alexandrie. Ils ont écrit des fractions sous forme "alphabétique" et sous forme "inversée". Autrement dit, le numérateur était en bas et le dénominateur était en haut (sans ligne de séparation). En raison du fait que les anciens Grecs comprenaient le nombre comme un ensemble d'unités, ils utilisaient rarement des fractions ordinaires en arithmétique, mais les utilisaient parfois pour désigner des quantités incommensurables.

Des études similaires ont été menées dans la Chine ancienne : du Xe au IIe siècle av. Initialement, les Chinois n'utilisaient que des fractions ordinaires, et les décimales n'ont été introduites qu'au 3ème siècle après JC - après l'invention du tableau de comptage suanpan (算盤). Les anciens hindous ont également apporté une contribution significative aux mathématiques. Ce sont eux qui possèdent la forme moderne d'une fraction ordinaire - le numérateur et le dénominateur, séparés par une ligne horizontale. Les Européens ont commencé à utiliser ce système beaucoup plus tard - seulement aux XIIe-XVIe siècles, en l'empruntant aux Arabes, qui, à leur tour, ont appris cette connaissance des Indiens.

Le premier penseur européen à utiliser les fractions ordinaires (sous la forme dans laquelle elles existent actuellement) fut Léonard de Pise, mieux connu sous son surnom de Fibonacci. En 1350, les fractions décimales ont commencé à être utilisées en Europe dans les calculs - grâce au scientifique français Immanuel Bonfils, et à partir de 1585, elles sont devenues les principales, remplaçant le système sexagésimal obsolète.

Utilisation pratique des fractions

Aujourd'hui, les fractions ordinaires sont utilisées partout : des sciences exactes (pour écrire des formules) à la vie de tous les jours. Par exemple :

En cartographie. L'échelle est toujours indiquée en fraction naturelle : 1/50000, 1/1000000. Au lieu du signe "/", un deux-points ":" est souvent écrit, mais cela signifie une division, pas une énumération.
En géographie. Par exemple, selon les manuels, l'Eurasie occupe environ 1/3 des terres et l'océan Pacifique - 1/2 des océans du monde.
En médecine. Lorsqu'ils prescrivent des médicaments, les médecins indiquent rarement leur quantité en grammes et utilisent un système de mesures fractionnées plus pratique : 1/3 flacon, 1/2 comprimé.

Les fractions ordinaires sont utilisées même dans les compétitions sportives : tout le monde connaît des expressions telles que "un quart de finale" ou "une moitié de finale". Malgré le fait que les fractions décimales soient largement utilisées dans les appareils informatiques électroniques, la fraction commune n'a pas perdu de sa pertinence. Et dans les sciences exactes, il est tout simplement impossible de s'en passer, puisqu'une partie importante des formules, d'une manière ou d'une autre, contient des expressions comme a/b.

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Comme les nombres décimaux, les fractions se prêtent aux opérations mathématiques de base. Addition, soustraction, multiplication, division, élévation à une puissance, extraction de racines - ces opérations peuvent être effectuées avec n'importe quelle expression représentée par a / b, où b n'est pas égal à zéro. De plus, un nombre décimal peut toujours être représenté comme une fraction commune, et une fraction commune peut presque toujours être convertie en nombre décimal.

Arithmétique avec des fractions

Comparer des fractions

L'opération de base qui précède l'addition et la soustraction est la comparaison de deux fractions communes. Dans le cas des expressions 1/3 et 2/3, la réponse est évidente : la première est 2 fois plus grande que la seconde, mais comment comparer quand les dénominateurs des nombres diffèrent ? Dans ce cas, une opération appelée réduction à un dénominateur commun est effectuée.

Si nous prenons les fractions 1/4 et 3/7, leur dénominateur commun sera le nombre 4 ⋅ 7, ou 28. En conséquence, nous multiplions 1 ⋅ 7 et 3 ⋅ 4 et obtenons les numérateurs 7 et 12 avec le même dénominateur 28. Donc le premier moins que le second : 7/28 < 12/28, et 1/4 < 3/7. Et leur ratio est de 7/12.

Addition et soustraction

Afin d'ajouter deux fractions ordinaires, elles doivent également être réduites à un dénominateur commun, puis ajouter le premier dividende au second, en laissant le diviseur inchangé. Par exemple, si vous additionnez les fractions 1/3 et 2/4, nous obtenons : 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Simplifiez et obtenez : 5/6.

La soustraction se produit selon un algorithme similaire : d'abord, un dénominateur commun est trouvé, puis le second est soustrait du premier numérateur. Si on prend les fractions 3/4 et 1/5, on obtient : 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Multiplication et division

Pour multiplier des fractions, la réduction à un dénominateur commun n'est pas nécessaire, les dividendes et les diviseurs sont simplement multipliés ensemble. En général, la formule ressemble à ceci : (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Par exemple, prenons les fractions 5/6 et 1/4 : (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Si une fraction ordinaire est multipliée par un nombre naturel, alors seul le numérateur est impliqué dans l'opération. Soit : (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

La division des fractions ordinaires s'effectue selon le schéma inverse. Donc, pour diviser la fraction a/b par la fraction c/d, il faut multiplier a/b par d/c. En substituant des nombres naturels au lieu de variables, on obtient : (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, ou 1 (5/6), où le reste est indiqué entre parenthèses. La condition principale est que le dénominateur de la première fraction et le numérateur de la seconde ne doivent pas être égaux à zéro, car la division par 0 est impossible.

Exponentiation et extraction de racine

Ces opérations dans le cas des fractions ordinaires sont les plus simples, car elles ne nécessitent pas de trouver un dénominateur commun ou d'inverser les fractions. La formule générale d'exponentiation est : (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. En substituant des nombres au lieu de variables, nous obtenons : (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

L'extraction de la racine s'effectue de manière similaire, selon la formule : √(a/b) = √a/√b. Si on substitue 9 à a et 16 à b, on obtient : √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Un prérequis pour les identités est un dénominateur différent de zéro (b ≠ 0) : à la fois pour la formule d'exponentiation et pour la formule d'extraction de racine.

Convertir des décimales en fractions communes et des fractions communes en décimales

Toute fraction décimale peut être représentée comme une fraction commune. Pour ce faire, vous devez représenter sa partie fractionnaire sous la forme d'un nombre naturel et le diviser par la puissance appropriée de 10. Par exemple, les fractions 0,234 et 0,65 peuvent être représentées respectivement par 234/1000 et 65/100. De plus, dans les deux cas, ils sonneront de la même façon : deux cent trente-quatre millièmes et soixante-cinq centièmes. Vous pouvez également convertir des nombres entiers avec des restes fractionnaires. Par exemple, 72,86 est représenté par 72 (86/100), où 72 est la partie entière et 86/100 est la partie fractionnaire.

Malheureusement, la conversion inverse - d'une fraction commune à un nombre décimal - n'est pas seulement plus difficile, mais pas toujours possible. Au moins - si vous avez besoin d'un beau nombre avec un petit nombre de décimales. Une opération simple est uniquement si le dénominateur est un multiple de 10. Par exemple, la fraction 4/100 peut être facilement transformée en 0,04 et 345/1000 en 0,345. Mais comment convertir si la ligne de séparation est le chiffre 7, 11, 14, etc. ?

Par exemple, prenons la fraction 19/44. Pour le représenter sous forme décimale, vous devez diviser 19 par 44 dans une colonne, en mettant une virgule après 19 et en y ajoutant des zéros à droite jusqu'à ce que l'ordre (précision) de calcul souhaité soit atteint. Le calcul conduira au fait que le nombre sera de 0,43181818 ... (18 dans la période). Nous écrivons le nombre sous la forme 0,43 (18) - une fraction décimale périodique infinie et l'arrondissons si nécessaire.

Vous pouvez compter rapidement des nombres à deux et trois chiffres dans une colonne, mais lorsque le nombre de caractères dépasse 4-5, la procédure prend beaucoup de temps et d'efforts mentaux. Par conséquent, aujourd'hui, pour convertir des fractions ordinaires en décimales (et vice versa), des calculatrices en ligne spéciales sont utilisées, où il suffit d'entrer des valeurs connues et d'obtenir instantanément le résultat correct.