😍 מחשבון שברים

יחד עם שברים עשרוניים, שהמכנים שלהם יכולים להיות רק כפולות של עשר, שברים רגילים נמצאים בשימוש נרחב במתמטיקה ובמדעים קשורים. הוא כתוב כ-a/b, כאשר a הוא המונה ו-b הוא המכנה. הראשון יכול להיות שווה לכל מספר, והשני יכול להיות כל מספר מלבד אפס.

המושג של שבר

שבר הוא ביטוי המיוצג כדיבידנד/מונה ומחלק/מכנה. הקו האופקי/אלכסוני המפריד ביניהם נקרא vinculum/solidus, וניתן לכתוב אותו באותיות קטנות: a/b. בהתאם ליחס המודולרי בין הדיבידנד למחלק, ישנם שברים רגילים ולא תקינים. בראשון, מודול המונה גדול יותר ממודול המכנה, ובשני, להיפך.

לפיכך, אם תחלק מספר גדול במספר קטן יותר, תקבל בהכרח מספר רציונלי - גדול מאחד. דוגמאות לשברים לא תקינים כאלה הם 6/5, 8/7, 11/3 וכן הלאה. צמצום בהם בלתי אפשרי, והם נרשמים בצורתם המקורית. במידת הצורך, ניתן לחשב אותם על ידי קבלת מספר שלם וחלק שבר: בשארית או כשבר עשרוני.

יש גם שברים מעורבים ומורכבים. הראשון כתוב כמספר שלם לא שלילי ושבר תקין, והשני כתוב כביטוי המכיל כמה קווים אופקיים.

היסטוריה של שברים

שבר השם האנגלי מגיע מהלטינית fractura, אבל שברים רגילים הומצאו הרבה לפני היווצרות האימפריה הרומית. אז, פיצול המספרים שימש את המצרים הקדמונים - לפני כ-4000 שנה. מעידים על כך ממצאים ארכיאולוגיים כמו הפפירוס המתמטי של רינדה, לוח העץ של אחמים ומגילת העור המתמטית המצרית מהמאה ה-20 עד ה-17 לפני הספירה.

מחקרים אחרים מצביעים על כך שפיצול מספרים נעשה גם בבבל העתיקה, לפני יותר מ-3,000 שנה. הבבלים הם שהכניסו את החלוקה של תואר ל-60 דקות, ודקות ל-60 שניות. המספר 60, בנוסף לעצמו ולאחד, מתחלק ב-10 מספרים נוספים ללא שארית: מ-2 עד 30. בהתאם לכך, לא נעשה שימוש בשברים עשרוניים אלא סקסגסימליים בבבל.

מערכת השברים הסקסגסימאליים נדדה בהדרגה מהמתמטיקה הבבלית הקדומה ליוונית העתיקה, וידוע באופן מהימן שהיא שימשה כבר במאה ה-1 לספירה: המדענים היוונים הקדומים דיופנטוס מאלכסנדריה והרון מאלכסנדריה. הם כתבו שברים בצורה "אלפביתית" ובצורה "הפוכה". כלומר, המונה היה בתחתית, והמכנה היה למעלה (ללא קו הפרדה). בשל העובדה שהיוונים הקדמונים הבינו את המספר כמערכת של יחידות, הם השתמשו בשברים רגילים רק לעתים רחוקות בחשבון, אלא לפעמים השתמשו בהם לציון כמויות שאינן ניתנות להתאמה.

מחקרים דומים בוצעו בסין העתיקה: מהמאות ה-10 עד ה-2 לפני הספירה. בתחילה, הסינים השתמשו רק בשברים רגילים, והעשרוניות הוכנסו רק במאה ה-3 לספירה - לאחר המצאת לוח הספירה של סואנפאן (算盤). גם ההינדים הקדמונים תרמו תרומה משמעותית למתמטיקה. הם הבעלים של הצורה המודרנית של שבר רגיל - המונה והמכנה, מופרדים על ידי קו אופקי. האירופים החלו להשתמש במערכת זו הרבה יותר מאוחר - רק במאות XII-XVI, שאלו אותה מהערבים, אשר, בתורם, למדו את הידע הזה מהאינדיאנים.

הוגה הדעות האירופי הראשון שהשתמש בשברים רגילים (בצורה שבה הם קיימים כיום) היה ליאונרדו מפיזה, הידוע יותר בכינויו פיבונאצ'י. בשנת 1350 החלו להשתמש בשברים עשרוניים באירופה בחישובים - הודות למדען הצרפתי עמנואל בונפילס, ומשנת 1585 הם הפכו להיות העיקריים שבהם, והחליפו את המערכת הסקסגסימאלית המיושנת.

שימוש מעשי בשברים

כיום משתמשים בשברים רגילים בכל מקום: מהמדעים המדויקים (לכתיבת נוסחאות) ועד לחיי היומיום. לדוגמה:

בקרטוגרפיה. הסולם מסומן תמיד כשבר טבעי: 1/50000, 1/1000000. במקום הסימן "/", לעתים קרובות נכתב נקודתיים ":", אבל זה אומר חלוקה, לא ספירה.
בגיאוגרפיה. לדוגמה, על פי ספרי לימוד, אירואסיה תופסת כ-1/3 מהיבשה, והאוקיינוס השקט - 1/2 מהאוקיינוסים בעולם.
ברפואה. כאשר רושמים תרופות, רופאים מציינים לעתים רחוקות את הכמות שלהם בגרמים, ומשתמשים במערכת חלקית נוחה יותר של אמצעים: 1/3 בקבוק, 1/2 טבליה.

שברים רגילים משמשים אפילו בתחרויות ספורט: כולם מכירים ביטויים כמו "רבע מהגמר" או "חצי מהגמר". למרות העובדה ששברים עשרוניים נמצאים בשימוש נרחב במכשירי מחשוב אלקטרוניים, השבר הנפוץ לא איבד מהרלוונטיות שלו. ובמדעים המדויקים, פשוט אי אפשר בלעדיו, שכן חלק נכבד מהנוסחאות, כך או כך, מכיל ביטויים כמו a/b.

כמו עשרונים, שברים מתאימים לפעולות מתמטיות בסיסיות. חיבור, חיסור, כפל, חילוק, העלאה לחזקה, חילוץ שורשים - ניתן לבצע פעולות אלו עם כל ביטוי המיוצג כ-a/b, כאשר b אינו שווה לאפס. בנוסף, תמיד ניתן לייצג שבר עשרוני כשבר רגיל, וכמעט תמיד ניתן להמיר שבר רגיל לשבר עשרוני.

חשבון עם שברים

השוואת שברים

הפעולה הבסיסית שלפני חיבור וחיסור היא השוואה של שני שברים משותפים. במקרה של הביטויים 1/3 ו-2/3, התשובה ברורה: הראשון גדול פי 2 מהשני, אבל איך להשוות כאשר מכנים של המספרים שונים? במקרה זה, מתבצעת פעולה המכונה הפחתה למכנה משותף.

אם ניקח את השברים 1/4 ו-3/7, המכנה המשותף שלהם יהיה המספר 4 ⋅ 7, או 28. בהתאם, נכפיל 1 ⋅ 7 ו-3 ⋅ 4 ונקבל את המונים 7 ו-12 עם אותו מכנה 28. אז הראשון פחות מהשני: 7/28 < 12/28, ו-1/4 < 3/7. והיחס שלהם הוא 7/12.

חיבור וחיסור

כדי להוסיף שני שברים רגילים, יש גם לצמצם אותם למכנה משותף, ולאחר מכן להוסיף את הדיבידנד הראשון לשני, ולהשאיר את המחלק ללא שינוי. לדוגמה, אם תוסיף את השברים 1/3 ו-2/4, נקבל: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. פשט וקבל: 5/6.

חיסור מתרחש על פי אלגוריתם דומה: ראשית, נמצא מכנה משותף, ולאחר מכן מופחת השני מהמונה הראשון. אם ניקח את השברים 3/4 ו-1/5, נקבל: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

כפל וחילוק

כדי להכפיל שברים, אין צורך בהפחתה למכנה משותף, דיבידנדים ומחלקים פשוט מוכפלים יחד. באופן כללי, הנוסחה נראית כך: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). לדוגמה, קח את השברים 5/6 ו-1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. אם שבר רגיל מוכפל במספר טבעי, אז רק המונה מעורב בפעולה. כלומר: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

החלוקה של שברים רגילים מתבצעת לפי הסכמה ההפוכה. לכן, כדי לחלק את השבר a/b בשבר c/d, אתה צריך להכפיל את a/b ב-d/c. החלפת מספרים טבעיים במקום משתנים, נקבל: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, או 1 (5/6), כאשר היתרה מצוינת בסוגריים. התנאי העיקרי הוא שהמכנה של השבר הראשון והמונה של השני לא יהיו שווים לאפס, מכיוון שחלוקה ב-0 היא בלתי אפשרית.

אקספונציה וחילוץ שורש

פעולות אלו במקרה של שברים רגילים הן הפשוטות ביותר, שכן הן אינן דורשות מציאת מכנה משותף או היפוך שברים. הנוסחה הכללית לאקספונציה היא: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. החלפת מספרים במקום משתנים, נקבל: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

חילוץ השורש מתבצע באופן דומה, לפי הנוסחה: √(a/b) = √a/√b. אם נחליף 9 ב-a ו-16 ב-b, נקבל: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. תנאי מוקדם לזהויות הוא מכנה שאינו אפס (b ≠ 0): הן עבור נוסחת האקספונציה והן עבור נוסחת מיצוי השורש.

המרת מספרים עשרוניים לשברים נפוצים ושברים נפוצים לשברים עשרוניים

כל שבר עשרוני יכול להיות מיוצג כשבר רגיל. כדי לעשות זאת, עליך לייצג את החלק השברי שלו כמספר טבעי ולחלק אותו בחזקת 10 המתאימה. לדוגמה, השברים 0.234 ו-0.65 יכולים להיות מיוצגים כ-234/1000 ו-65/100, בהתאמה. יתרה מכך, בשני המקרים הם ישמעו אותו הדבר: מאתיים שלושים וארבע אלפיות ושישים וחמש מאיות. אתה יכול גם להמיר מספרים שלמים עם שאריות שברים. לדוגמה, 72.86 מיוצג כ-72 (86/100), כאשר 72 הוא החלק השלם ו-86/100 הוא החלק השברי.

למרבה הצער, ההמרה ההפוכה - משבר רגיל לשבר עשרוני - היא לא רק קשה יותר, אלא גם לא תמיד אפשרית. לפחות - אם אתה צריך מספר יפה עם מספר קטן של מקומות עשרוניים. פעולה פשוטה היא רק אם המכנה הוא כפולה של 10. לדוגמה, ניתן להפוך את השבר 4/100 בקלות ל-0.04, ו-345/1000 ל-0.345. אבל איך להמיר אם קו המפריד הוא המספר 7, 11, 14 וכן הלאה?

לדוגמה, ניקח את השבר 19/44. כדי לייצג אותו בצורה עשרונית, עליך לחלק 19 ב-44 בעמודה, לשים פסיק אחרי 19 ולהוסיף לו אפסים מימין עד הגעה לסדר (דיוק) החישוב הרצוי. החישוב יוביל לכך שהמספר יהיה 0.43181818 ... (18 בתקופה). אנו כותבים את המספר כ-0.43 (18) - שבר עשרוני מחזורי אינסופי ומעגל אותו במידת הצורך.

ניתן לספור במהירות מספרים דו ספרתיים ותלת ספרתיים בעמודה, אך כאשר מספר התווים עולה על 4-5, ההליך דורש זמן רב ומאמץ נפשי. לכן, כיום, כדי להמיר שברים רגילים לעשרונים (ולהיפך), משתמשים במחשבונים מקוונים מיוחדים, שבהם מספיק להזין ערכים ידועים כדי לקבל את התוצאה הנכונה באופן מיידי.

ממיר שבר למספר עשרוני