😍 Kalkulator razlomaka

Zajedno s decimalnim razlomcima, čiji nazivnici mogu biti samo višekratnici broja deset, obični razlomci naširoko se koriste u matematici i srodnim znanostima. Zapisuje se kao a/b, gdje je a brojnik, a b nazivnik. Prvi može biti jednak bilo kojem broju, a drugi može biti bilo koji broj osim nule.

Pojam razlomka

Razlomak je izraz predstavljen kao dividenda/brojnik i djelitelj/nazivnik. Vodoravna/kosa linija koja ih razdvaja naziva se vinculum/solidus i može se pisati malim slovima: a/b. Ovisno o modularnom odnosu između dividende i djelitelja, razlikuju se pravilni i nepravi obični razlomci. U prvom je modul brojnika veći od modula nazivnika, au drugom obrnuto.

Sukladno tome, ako veći broj podijelite s manjim, neizbježno ćete dobiti racionalan broj - veći od jedan. Primjeri takvih nepravih razlomaka su 6/5, 8/7, 11/3 i tako dalje. Redukcija u njima je nemoguća, a bilježe se u izvornom obliku. Ako je potrebno, mogu se izračunati dobivanjem cijelog broja i razlomka: u ostatku ili kao decimalni razlomak.

Također postoje mješovite i složene frakcije. Prvi je napisan kao nenegativan cijeli broj i pravi razlomak, a drugi je napisan kao izraz koji sadrži nekoliko kosih crta/vodoravnih crta.

Povijest razlomaka

Englesko ime fraction dolazi od latinskog fractura, ali obični razlomci su izumljeni davno prije formiranja Rimskog Carstva. Dakle, cijepanje brojeva koristili su stari Egipćani - prije oko 4000 godina. Na to ukazuju arheološki nalazi kao što su matematički papirus Rinda, drvena ploča Akhmim i egipatski matematički kožni svitak koji datira iz 20. do 17. stoljeća prije Krista.

Druga istraživanja pokazuju da je dijeljenje brojeva također učinjeno u starom Babilonu, prije više od 3000 godina. Babilonci su ti koji su uveli podjelu stupnja na 60 minuta, a minute na 60 sekundi. Broj 60, osim sa samim sobom i jedinicom, djeljiv je s još 10 brojeva bez ostatka: od 2 do 30. Prema tome, u Babilonu se nisu koristili decimalni, već seksagezimalni razlomci.

Sustav šezdesetih razlomaka postupno je prešao iz starogrčke u starogrčku matematiku, a pouzdano se zna da su ga koristili već u 1. stoljeću nove ere: starogrčki znanstvenici Diofant Aleksandrijski i Heron Aleksandrijski. Pisali su razlomke u "abecednom" obliku i u "obrnutom" obliku. Odnosno, brojnik je bio na dnu, a nazivnik na vrhu (bez razdjelne crte). Zbog činjenice da su stari Grci broj shvaćali kao skup jedinica, rijetko su koristili obične razlomke u aritmetici, ali su ih ponekad koristili za označavanje nesamjerljivih veličina.

Slična su istraživanja provedena u staroj Kini: od 10. do 2. stoljeća prije Krista. U početku su Kinezi koristili samo obične razlomke, a decimale su uvedene tek u 3. stoljeću nove ere – nakon izuma suanpan (算盤) ploče za brojanje. Značajan doprinos matematici dali su i stari Hindusi. Oni su vlasnici modernog oblika običnog razlomka - brojnika i nazivnika, odvojenih vodoravnom linijom. Europljani su počeli koristiti ovaj sustav mnogo kasnije - tek u XII-XVI stoljeću, posuđujući ga od Arapa, koji su pak to znanje naučili od Indijaca.

Prvi europski mislilac koji je koristio obične razlomke (u obliku u kojem sada postoje) bio je Leonardo iz Pise, poznatiji pod nadimkom Fibonacci. Godine 1350. decimalni razlomci počeli su se koristiti u Europi u izračunima - zahvaljujući francuskom znanstveniku Immanuelu Bonfilsu, a od 1585. postali su glavni, zamijenivši zastarjeli seksagezimalni sustav.

Praktična uporaba razlomaka

Danas se obični razlomci koriste posvuda: od egzaktnih znanosti (za pisanje formula) do svakodnevnog života. Na primjer:

U kartografiji. Mjerilo se uvijek označava prirodnim razlomkom: 1/50000, 1/1000000. Umjesto znaka "/" često se piše dvotočka ":", ali ona označava dijeljenje, a ne nabrajanje.
U geografiji. Na primjer, prema udžbenicima, Euroazija zauzima oko 1/3 kopna, a Tihi ocean - 1/2 svjetskih oceana.
U medicini. Kad propisuju lijekove, liječnici rijetko navode njihovu količinu u gramima i koriste prikladniji frakcijski sustav mjera: 1/3 boce, 1/2 tablete.

Obični razlomci se koriste čak iu sportskim natjecanjima: svi znaju izraze kao što su "četvrt finala" ili "polufinala". Unatoč činjenici da se decimalni ulomci naširoko koriste u elektroničkim računalnim uređajima, obični ulomak nije izgubio svoju važnost. A u egzaktnim znanostima jednostavno je nemoguće bez toga, jer značajan dio formula, na ovaj ili onaj način, sadrži izraze poput a / b.

Kao i decimale, razlomci su podložni osnovnim matematičkim operacijama. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, dizanje na potenciju, vađenje korijena - ove se operacije mogu izvesti s bilo kojim izrazom predstavljenim kao a / b, gdje b nije jednako nuli. Osim toga, decimala se uvijek može predstaviti kao običan razlomak, a običan razlomak se gotovo uvijek može pretvoriti u decimalu.

Aritmetika s razlomcima

Uspoređivanje razlomaka

Osnovna operacija koja prethodi zbrajanju i oduzimanju je usporedba dva obična razlomka. U slučaju izraza 1/3 i 2/3, odgovor je očit: prvi je 2 puta veći od drugog, ali kako usporediti kada se nazivnici brojeva razlikuju? U ovom slučaju izvodi se operacija poznata kao svođenje na zajednički nazivnik.

Uzmemo li razlomke 1/4 i 3/7, njihov zajednički nazivnik bit će broj 4 ⋅ 7, odnosno 28. U skladu s tim, unakrsno množimo 1 ⋅ 7 i 3 ⋅ 4 i dobivamo brojnike 7 i 12 s istim nazivnikom 28. Dakle, prvi manji od drugog: 7/28 < 12/28, i 1/4 < 3/7. A njihov omjer je 7/12.

Zbrajanje i oduzimanje

Da bismo zbrojili dva obična razlomka, potrebno ih je svesti na zajednički nazivnik, a zatim dodati prvu dividendu drugoj, ostavljajući djelitelj nepromijenjen. Na primjer, ako zbrojite razlomke 1/3 i 2/4, dobit ćemo: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Pojednostavite i dobit ćete: 5/6.

Oduzimanje se odvija prema sličnom algoritmu: prvo se pronalazi zajednički nazivnik, a zatim se drugi oduzima od prvog brojnika. Ako uzmemo razlomke 3/4 i 1/5, dobivamo: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Množenje i dijeljenje

Za množenje razlomaka nije potrebno svođenje na zajednički nazivnik, dividende i djelitelji se jednostavno međusobno množe. Općenito, formula izgleda ovako: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Na primjer, uzmite razlomke 5/6 i 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Ako se obični razlomak pomnoži prirodnim brojem, tada je u operaciji uključen samo brojnik. To je: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Podjela običnih frakcija provodi se prema obrnutoj shemi. Dakle, da biste podijelili razlomak a/b s razlomkom c/d, trebate pomnožiti a/b s d/c. Zamjenom prirodnih brojeva umjesto varijabli dobivamo: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, ili 1 (5/6), gdje je ostatak naveden u zagradama. Glavni uvjet je da nazivnik prvog razlomka i brojnik drugog ne smiju biti jednaki nuli, jer je dijeljenje s 0 nemoguće.

Potenciranje i vađenje korijena

Ove su operacije u slučaju običnih razlomaka najjednostavnije jer ne zahtijevaju pronalaženje zajedničkog nazivnika ili obrnuto mijenjanje razlomaka. Opća formula za potenciranje je: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Zamjenom brojeva umjesto varijabli dobivamo: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Izdvajanje korijena provodi se na sličan način, prema formuli: √(a/b) = √a/√b. Ako zamijenimo 9 umjesto a i 16 umjesto b, dobivamo: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Preduvjet za identitete nazivnik je različit od nule (b ≠ 0): i za formulu za potenciranje i za formulu za vađenje korijena.

Pretvaranje decimala u obične razlomke i običnih razlomaka u decimale

Svaki decimalni razlomak može se predstaviti kao obični razlomak. Da biste to učinili, trebate predstaviti njegov razlomak kao prirodni broj i podijeliti ga s odgovarajućom potencijom broja 10. Na primjer, razlomci 0,234 i 0,65 mogu se prikazati kao 234/1000 odnosno 65/100. Štoviše, u oba će slučaja zvučati isto: dvjesto trideset četiri tisućinke i šezdeset pet stotinki. Također možete pretvoriti cijele brojeve s razlomcima. Na primjer, 72,86 predstavljeno je kao 72 (86/100), gdje je 72 cijeli broj, a 86/100 razlomak.

Nažalost, obrnuta konverzija - iz običnog razlomka u decimalu - ne samo da je teža, nego i nije uvijek moguća. Barem - ako vam treba prekrasan broj s malim brojem decimalnih mjesta. Jednostavna operacija je samo ako je nazivnik višekratnik broja 10. Na primjer, razlomak 4/100 može se lako pretvoriti u 0,04, a 345/1000 u 0,345. Ali kako pretvoriti ako je linija razdvajanja broj 7, 11, 14 i tako dalje?

Na primjer, uzmimo razlomak 19/44. Da biste ga predstavili u decimalnom obliku, trebate podijeliti 19 sa 44 u stupcu, stavljajući zarez iza 19 i dodajući mu nule s desne strane dok se ne postigne željeni red (točnost) izračuna. Izračun će dovesti do činjenice da će broj biti 0,43181818 ... (18 u razdoblju). Broj zapisujemo kao 0,43 (18) - beskonačni periodični decimalni razlomak i zaokružujemo ga ako je potrebno.

Možete brzo prebrojati dvoznamenkaste i troznamenkaste brojeve u stupcu, ali kada broj znakova premaši 4-5, postupak oduzima puno vremena i mentalnog napora. Stoga se danas za pretvaranje običnih razlomaka u decimale (i obrnuto) koriste posebni online kalkulatori, gdje je dovoljno unijeti poznate vrijednosti i odmah dobiti točan rezultat.

Pretvarač razlomaka u decimalne brojeve