😍 Tört számológép

A tizedes törtekkel együtt, amelyek nevezői csak a tíz többszörösei lehetnek, a közönséges törteket széles körben használják a matematikában és a kapcsolódó tudományokban. A/b-ként van írva, ahol a a számláló, b pedig a nevező. Az első bármilyen számmal egyenlő lehet, a második pedig bármilyen szám lehet, kivéve nullát.

A tört fogalma

A tört egy olyan kifejezés, amely osztóként/számlálóként és osztóként/nevezőként jelenik meg. Az őket elválasztó vízszintes/ferde vonalat vinculum/solidusnak nevezzük, és kisbetűvel írható: a/b. Az osztalék és az osztó közötti moduláris kapcsolattól függően vannak szabályos és helytelen közönséges törtek. Az elsőben a számlálómodul nagyobb, mint a nevezőmodul, a másodikban pedig fordítva.

Ennek megfelelően, ha egy nagyobb számot eloszt egy kisebbel, akkor elkerülhetetlenül racionális számot kap – egynél nagyobbat. Ilyen helytelen törtek például a 6/5, 8/7, 11/3 és így tovább. Csökkentésük lehetetlen, és eredeti formájukban rögzítik őket. Ha szükséges, ezek kiszámíthatók egy egész szám és egy tört rész megszerzésével: maradékban vagy tizedes törtként.

Vannak vegyes és összetett frakciók is. Az első nem negatív egész számként és megfelelő törtként, a második pedig több perjelet/vízszintes sort tartalmazó kifejezésként.

Törtek története

Az angol fraction név a latin fractura szóból származik, de a közönséges törteket jóval a Római Birodalom megalakulása előtt találták fel. Tehát a számok felosztását az ókori egyiptomiak használták - körülbelül 4000 évvel ezelőtt. Erre utalnak olyan régészeti leletek, mint a Rinda matematikai papirusz, az Akhmim fatábla és az egyiptomi matematikai bőrtekercs, amely az időszámításunk előtti 20–17. századból származik.

Más tanulmányok azt mutatják, hogy több mint 3000 évvel ezelőtt az ókori Babilonban is sor került számfelosztásra. A babilóniaiak vezették be a fok 60 percre, a percek 60 másodpercre való felosztását. A 60-as szám önmagán és egyen kívül még 10 számmal osztható maradék nélkül: 2-től 30-ig. Ennek megfelelően Babilonban nem tizedes, hanem hatszázas törteket használtak.

A hatszázalékos törtek rendszere fokozatosan vándorolt át az óbabiloniból az ókori görög matematikába, és megbízhatóan ismert, hogy már az i.sz. 1. században használták: az ókori görög tudósok, Alexandriai Diophantus és Alexandriai Heron. Törteket írtak "ábécé" és "fordított" formában. Vagyis a számláló alul, a nevező pedig felül volt (elválasztó vonal nélkül). Tekintettel arra, hogy az ókori görögök a számot mértékegységek halmazának értették, a számtanban ritkán használtak közönséges törteket, néha azonban összemérhetetlen mennyiségek jelölésére.

Hasonló vizsgálatokat végeztek az ókori Kínában: az ie 10. és 2. század között. Kezdetben a kínaiak csak közönséges törteket használtak, és a tizedesjegyeket csak az i.sz. 3. században vezették be – a suanpan (算盤) számlálótábla feltalálása után. Az ókori hinduk is jelentős mértékben hozzájárultak a matematikához. Ők birtokolják a közönséges tört modern formáját - a számlálót és a nevezőt, amelyeket vízszintes vonal választ el. Az európaiak sokkal később kezdték használni ezt a rendszert - csak a XII-XVI. században, az araboktól kölcsönözve, akik viszont az indiaiaktól tanulták ezt a tudást.

Az első európai gondolkodó, aki közönséges törteket használt (a jelenlegi formában), Pisai Leonardo volt, akit Fibonacci becenevén ismertek. Európában 1350-ben kezdték el használni a tizedes törteket a számításokban - Immanuel Bonfils francia tudósnak köszönhetően, és 1585-től ezek váltak a fő törtekké, felváltva az elavult hatszázalékos rendszert.

A törtek gyakorlati használata

Ma a közönséges törteket mindenhol használják: az egzakt tudományoktól (képletek írásához) a mindennapi életig. Például:

A térképészetben. A skála mindig természetes törtként van feltüntetve: 1/50000, 1/1000000. A "/" jel helyett gyakran kettőspontot írnak: ":", de ez osztást jelent, nem felsorolást.
Földrajzban. Például a tankönyvek szerint Eurázsia a szárazföld körülbelül 1/3-át, a Csendes-óceán pedig a világ óceánjainak 1/2 részét foglalja el.
Az orvostudományban. A gyógyszerek felírásakor az orvosok ritkán tüntetik fel a mennyiségüket grammban, és kényelmesebb, frakcionált mértékrendszert alkalmaznak: 1/3 üveg, 1/2 tabletta.

A közönséges törteket még a sportversenyeken is használják: mindenki ismeri az olyan kifejezéseket, mint "a döntő negyede" vagy "a döntő fele". Annak ellenére, hogy a tizedes törteket széles körben használják az elektronikus számítástechnikai eszközökben, a közönséges tört nem veszítette el relevanciáját. Az egzakt tudományokban pedig egyszerűen lehetetlen nélkülözni, mivel a képletek jelentős része így vagy úgy olyan kifejezéseket tartalmaz, mint a / b.

A tizedesjegyekhez hasonlóan a törtek is alkalmasak alapvető matematikai műveletekre. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványra emelés, gyökök kivonása – ezek a műveletek bármilyen a / b-vel ábrázolt kifejezéssel végrehajthatók, ahol b nem egyenlő nullával. Ezenkívül a tizedes tört mindig közönséges törtként ábrázolható, a közönséges tört pedig szinte mindig tizedestörtté alakítható.

Aritmetika törtekkel

Törtek összehasonlítása

Az összeadást és kivonást megelőző alapvető művelet két közönséges tört összehasonlítása. Az 1/3 és 2/3 kifejezések esetében a válasz kézenfekvő: az első kétszerese a másodiknak, de hogyan lehet összehasonlítani, ha a számok nevezője különbözik? Ebben az esetben egy közös nevezőre való redukcióként ismert művelet kerül végrehajtásra.

Ha az 1/4 és 3/7 törteket vesszük, akkor a közös nevezőjük a 4 ⋅ 7 vagy 28 lesz. Ennek megfelelően 1 ⋅ 7 és 3 ⋅ 4 számokat keresztezzük, és megkapjuk a 7 és 12 számlálót. azonos nevezővel 28. Tehát az első kisebb, mint a második: 7/28 < 12/28, és 1/4 < 3/7. Az arányuk pedig 7/12.

Összeadás és kivonás

Két közönséges tört hozzáadásához ezeket is közös nevezőre kell csökkenteni, majd hozzá kell adni az első osztalékot a másodikhoz, így az osztó változatlan marad. Például, ha összeadja az 1/3 és 2/4 törteket, a következőt kapjuk: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Egyszerűsítse és kapja meg: 5/6.

A kivonás hasonló algoritmus szerint történik: először találunk egy közös nevezőt, majd a másodikat levonjuk az első számlálóból. Ha a 3/4 és 1/5 törteket vesszük, a következőt kapjuk: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Szorzás és osztás

A törtek szorzásához nem szükséges közös nevezőre redukálni, az osztalékokat és az osztókat egyszerűen össze kell szorozni. Általában a képlet így néz ki: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Vegyük például az 5/6 és 1/4 törteket: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Ha egy közönséges törtet megszorozunk egy természetes számmal, akkor csak a számláló vesz részt a műveletben. Vagyis: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

A közönséges törtek felosztása a fordított séma szerint történik. Tehát az a/b törtnek a c/d törttel való osztásához meg kell szorozni a/b-t d/c-vel. A változók helyett természetes számokat behelyettesítve a következőket kapjuk: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, vagy 1 (5/6), ahol a maradék zárójelben van feltüntetve. A fő feltétel az, hogy az első tört nevezője és a második számlálója ne legyen egyenlő nullával, mivel 0-val nem lehet osztani.

Hatványozás és gyökérkivonás

Ezek a műveletek a közönséges törtek esetében a legegyszerűbbek, mivel nem szükséges közös nevezőt találni vagy a törteket megfordítani. A hatványozás általános képlete: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Változók helyett számokat behelyettesítve a következőt kapjuk: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

A gyökér kinyerését a következő képlet szerint hajtjuk végre: √(a/b) = √a/√b. Ha a helyett 9-et, b-t 16-tal helyettesítünk, akkor a következőt kapjuk: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Az azonosságok előfeltétele a nullától eltérő nevező (b ≠ 0): mind a hatványozási képletnél, mind a gyökérkivonási képletnél.

Tizedesjegyek átalakítása közönséges törtekké és közönséges törtek tizedesjegyekké

Bármely tizedes tört közönséges törtként ábrázolható. Ehhez a tört részét természetes számként kell ábrázolnia, és el kell osztania 10 megfelelő hatványával. Például a 0,234 és 0,65 törteket 234/1000-ként, illetve 65/100-ként kell ábrázolni. Ráadásul mindkét esetben ugyanúgy fognak hangzani: kétszázharmincnégy ezred és hatvanöt század. Az egész számokat tört maradékokkal is konvertálhatja. Például a 72,86 értéke 72 (86/100), ahol a 72 az egész szám, a 86/100 pedig a tört rész.

Sajnos a fordított átalakítás – köztörtről tizedesre – nemcsak bonyolultabb, de nem is mindig lehetséges. Legalábbis - ha szép számra van szüksége, kis számú tizedesjegyekkel. Egyszerű művelet csak akkor lehetséges, ha a nevező 10 többszöröse. Például a 4/100 tört könnyen 0,04-re, a 345/1000-ből 0,345-re alakítható. De hogyan lehet konvertálni, ha az elválasztó vonal a 7, 11, 14 és így tovább?

Vegyük például a 19/44 törtet. A decimális megjelenítéséhez el kell osztani a 19-et 44-gyel egy oszlopban, 19 után vesszőt kell tenni, és a jobb oldalon nullákat kell hozzáadni, amíg el nem éri a számítás kívánt sorrendjét (pontosságát). A számítás azt a tényt eredményezi, hogy a szám 0,43181818 ... (18 az időszakban). A számot 0,43-nak (18) írjuk – ez egy végtelen periodikus tizedes tört, és szükség esetén kerekítjük.

Gyorsan megszámolhatja a két- és háromjegyű számokat egy oszlopban, de ha a karakterek száma meghaladja a 4-5-öt, az eljárás sok időt és szellemi erőfeszítést igényel. Ezért manapság a közönséges törtek tizedesjegyekké alakításához (és fordítva) speciális online számológépeket használnak, ahol elegendő az ismert értékeket megadni, és azonnal megkapni a helyes eredményt.

Törtről tizedesre konvertáló