😍 Kalkulator pecahan

Bersama dengan pecahan desimal, yang penyebutnya hanya dapat berupa kelipatan sepuluh, pecahan biasa banyak digunakan dalam matematika dan ilmu terkait. Ditulis sebagai a/b, di mana a adalah pembilangnya dan b adalah penyebutnya. Yang pertama bisa sama dengan angka apa saja, dan yang kedua bisa berupa angka apa saja kecuali nol.

Konsep pecahan

Pecahan adalah ekspresi yang direpresentasikan sebagai pembagi/pembilang dan pembagi/penyebut. Garis horizontal/miring yang memisahkan keduanya disebut vinculum/solidus, dan dapat ditulis dengan huruf kecil: a/b. Bergantung pada hubungan modular antara pembagi dan pembagi, ada pecahan biasa beraturan dan tidak wajar. Yang pertama, modul pembilang lebih besar dari modul penyebut, dan yang kedua, sebaliknya.

Oleh karena itu, jika Anda membagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil, Anda pasti akan mendapatkan bilangan rasional - lebih besar dari satu. Contoh pecahan biasa tersebut adalah 6/5, 8/7, 11/3, dan seterusnya. Pengurangannya tidak mungkin, dan dicatat dalam bentuk aslinya. Jika perlu, mereka dapat dihitung dengan memperoleh bilangan bulat dan bagian pecahan: dalam sisa atau sebagai pecahan desimal.

Ada juga pecahan campuran dan pecahan majemuk. Yang pertama ditulis sebagai bilangan bulat bukan negatif dan pecahan biasa, dan yang kedua ditulis sebagai ekspresi yang berisi beberapa garis miring/garis horizontal.

Sejarah pecahan

Fraksi nama bahasa Inggris berasal dari fractura Latin, tetapi pecahan biasa ditemukan jauh sebelum pembentukan Kekaisaran Romawi. Jadi, pemisahan angka digunakan oleh orang Mesir kuno - sekitar 4000 tahun yang lalu. Hal ini ditunjukkan oleh penemuan arkeologis seperti papirus matematika Rinda, tablet kayu Akhmim, dan gulungan kulit matematika Mesir yang berasal dari abad ke-20 hingga ke-17 SM.

Penelitian lain menunjukkan bahwa pemisahan angka juga dilakukan di Babilonia kuno, lebih dari 3.000 tahun yang lalu. Orang Babilonialah yang memperkenalkan pembagian derajat menjadi 60 menit, dan menit menjadi 60 detik. Angka 60, selain dirinya sendiri dan satu, dapat dibagi dengan 10 angka lagi tanpa sisa: dari 2 hingga 30. Oleh karena itu, bukan desimal, tetapi pecahan seksagesimal digunakan di Babilonia.

Sistem pecahan sexagesimal berangsur-angsur bermigrasi dari Babilonia kuno ke matematika Yunani kuno, dan dapat dipercaya bahwa itu sudah digunakan pada abad ke-1 Masehi: ilmuwan Yunani kuno Diophantus dari Aleksandria dan Heron dari Aleksandria. Mereka menulis pecahan dalam bentuk "abjad" dan dalam bentuk "terbalik". Artinya, pembilangnya ada di bawah, dan penyebutnya ada di atas (tanpa garis pemisah). Karena fakta bahwa orang Yunani kuno memahami angka sebagai satuan unit, mereka jarang menggunakan pecahan biasa dalam aritmatika, tetapi terkadang menggunakannya untuk menunjukkan jumlah yang tidak dapat dibandingkan.

Penelitian serupa dilakukan di Tiongkok kuno: dari abad ke-10 hingga ke-2 SM. Awalnya, orang Tionghoa hanya menggunakan pecahan biasa, dan desimal baru diperkenalkan pada abad ke-3 M - setelah ditemukannya papan hitung suanpan (算盤). Umat Hindu kuno juga memberikan kontribusi yang signifikan terhadap matematika. Merekalah yang memiliki bentuk modern dari pecahan biasa - pembilang dan penyebut, dipisahkan oleh garis horizontal. Orang Eropa mulai menggunakan sistem ini jauh kemudian - hanya pada abad XII-XVI, meminjamnya dari orang Arab, yang, pada gilirannya, mempelajari pengetahuan ini dari orang India.

Pemikir Eropa pertama yang menggunakan pecahan biasa (dalam bentuk yang ada sekarang) adalah Leonardo dari Pisa, lebih dikenal dengan julukannya Fibonacci. Pada tahun 1350, pecahan desimal mulai digunakan di Eropa dalam perhitungan - berkat ilmuwan Prancis Immanuel Bonfils, dan sejak tahun 1585 pecahan desimal menjadi yang utama, menggantikan sistem seksagesimal yang sudah ketinggalan zaman.

Penggunaan pecahan secara praktis

Saat ini, pecahan biasa digunakan di mana-mana: dari ilmu eksakta (untuk menulis rumus) hingga kehidupan sehari-hari. Misalnya:

Dalam kartografi. Skala selalu ditunjukkan sebagai pecahan alami: 1/50000, 1/1000000. Alih-alih tanda "/", titik dua ":" sering ditulis, tetapi artinya adalah pembagian, bukan pencacahan.
Dalam geografi. Misalnya, menurut buku teks, Eurasia menempati sekitar 1/3 daratan, dan Samudra Pasifik - 1/2 lautan dunia.
Dalam pengobatan. Saat meresepkan obat, dokter jarang menunjukkan jumlahnya dalam gram, dan menggunakan sistem pecahan yang lebih nyaman: 1/3 botol, 1/2 tablet.

Pecahan biasa digunakan bahkan dalam kompetisi olahraga: semua orang tahu ungkapan seperti "seperempat final" atau "setengah final". Terlepas dari kenyataan bahwa pecahan desimal banyak digunakan dalam perangkat komputasi elektronik, pecahan biasa tidak kehilangan relevansinya. Dan dalam ilmu eksakta, tidak mungkin dilakukan tanpanya, karena sebagian besar rumus, dengan satu atau lain cara, berisi ekspresi seperti a / b.

Seperti desimal, pecahan cocok untuk operasi matematika dasar. Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, peningkatan pangkat, ekstraksi akar - operasi ini dapat dilakukan dengan ekspresi apa pun yang direpresentasikan sebagai a / b, di mana b tidak sama dengan nol. Selain itu, desimal selalu dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa, dan pecahan biasa hampir selalu dapat diubah menjadi desimal.

Aritmatika dengan pecahan

Membandingkan pecahan

Operasi dasar yang mendahului penjumlahan dan pengurangan adalah perbandingan dua pecahan biasa. Dalam kasus ekspresi 1/3 dan 2/3, jawabannya jelas: yang pertama 2 kali lebih besar dari yang kedua, tetapi bagaimana cara membandingkan ketika penyebut angkanya berbeda? Dalam hal ini, operasi yang dikenal sebagai pengurangan ke penyebut yang sama dilakukan.

Jika kita mengambil pecahan 1/4 dan 3/7, penyebut bersama mereka adalah angka 4 ⋅ 7, atau 28. Dengan demikian, kita mengalikan silang 1 ⋅ 7 dan 3 ⋅ 4 dan mendapatkan pembilangnya 7 dan 12 dengan penyebut yang sama 28. Jadi yang pertama lebih kecil dari yang kedua: 7/28 < 12/28, dan 1/4 < 3/7. Dan rasio mereka adalah 7/12.

Penjumlahan dan pengurangan

Untuk menjumlahkan dua pecahan biasa, mereka juga harus direduksi menjadi penyebut yang sama, lalu menjumlahkan pembagi pertama dengan pembagi kedua, sehingga pembaginya tidak berubah. Misalnya, jika Anda menjumlahkan pecahan 1/3 dan 2/4, kita mendapatkan: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Sederhanakan dan dapatkan: 5/6.

Pengurangan terjadi menurut algoritme serupa: pertama, penyebut yang sama ditemukan, lalu penyebut kedua dikurangkan dari pembilang pertama. Jika kita mengambil pecahan 3/4 dan 1/5, kita mendapatkan: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Perkalian dan pembagian

Untuk mengalikan pecahan, pengurangan ke penyebut yang sama tidak diperlukan, pembagi dan pembagi hanya dikalikan bersama. Secara umum, rumusnya terlihat seperti ini: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Misalnya, ambil pecahan 5/6 dan 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Jika pecahan biasa dikalikan dengan bilangan asli, maka hanya pembilang yang terlibat dalam operasi tersebut. Yaitu: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Pembagian pecahan biasa dilakukan menurut skema terbalik. Jadi, untuk membagi pecahan a/b dengan pecahan c/d, Anda perlu mengalikan a/b dengan d/c. Mensubstitusi bilangan asli alih-alih variabel, kita mendapatkan: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, atau 1 (5/6), di mana sisanya ditunjukkan dalam tanda kurung. Syarat utamanya adalah penyebut pecahan pertama dan pembilang pecahan kedua tidak boleh sama dengan nol, karena pembagian dengan 0 tidak mungkin dilakukan.

Eksponensial dan ekstraksi root

Operasi ini dalam kasus pecahan biasa adalah yang paling sederhana, karena tidak perlu menemukan penyebut yang sama atau membalikkan pecahan. Rumus umum eksponensial adalah: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Mengganti angka dan bukan variabel, kita mendapatkan: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Ekstraksi akar dilakukan dengan cara yang sama, menurut rumus: √(a/b) = √a/√b. Jika kita mengganti 9 dengan a dan 16 dengan b, kita mendapatkan: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Prasyarat untuk identitas adalah penyebut selain nol (b ≠ 0): baik untuk rumus eksponensial maupun untuk rumus ekstraksi akar.

Mengonversi desimal menjadi pecahan biasa dan pecahan biasa menjadi desimal

Pecahan desimal apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Untuk melakukannya, Anda perlu merepresentasikan bagian pecahannya sebagai bilangan asli dan membaginya dengan pangkat 10 yang sesuai. Misalnya, pecahan 0,234 dan 0,65 dapat direpresentasikan masing-masing sebagai 234/1000 dan 65/100. Selain itu, dalam kedua kasus mereka akan terdengar sama: dua ratus tiga puluh empat ribu dan enam puluh lima ratus. Anda juga dapat mengonversi bilangan bulat dengan sisa pecahan. Misalnya, 72,86 direpresentasikan sebagai 72 (86/100), dengan 72 adalah bagian bilangan bulat, dan 86/100 adalah bagian pecahan.

Sayangnya, konversi balik - dari pecahan biasa ke desimal - tidak hanya lebih sulit, tetapi juga tidak selalu memungkinkan. Setidaknya - jika Anda membutuhkan angka cantik dengan jumlah tempat desimal yang kecil. Operasi sederhana hanya jika penyebutnya adalah kelipatan 10. Misalnya, pecahan 4/100 dapat dengan mudah diubah menjadi 0,04, dan 345/1000 menjadi 0,345. Tapi bagaimana cara mengonversi jika garis pemisahnya adalah angka 7, 11, 14, dan seterusnya?

Misalnya, mari kita ambil pecahan 19/44. Untuk merepresentasikannya dalam bentuk desimal, Anda perlu membagi 19 dengan 44 dalam kolom, meletakkan koma setelah 19 dan menambahkan nol di sebelah kanannya hingga urutan perhitungan yang diinginkan (akurasi) tercapai. Perhitungan akan mengarah pada fakta bahwa jumlahnya akan menjadi 0,43181818 ... (18 dalam satu periode). Kami menulis angkanya sebagai 0,43 (18) - pecahan desimal periodik tak terbatas dan membulatkannya jika perlu.

Anda dapat dengan cepat menghitung angka dua digit dan tiga digit dalam sebuah kolom, tetapi jika jumlah karakter melebihi 4-5, prosedur ini membutuhkan banyak waktu dan upaya mental. Oleh karena itu, saat ini, untuk mengonversi pecahan biasa menjadi desimal (dan sebaliknya), kalkulator online khusus digunakan, yang cukup memasukkan nilai yang diketahui dan langsung mendapatkan hasil yang benar.

Konversi pecahan ke desimal