😍 分数計算機

分母が 10 の倍数のみである小数分数と並んで、普通分数は数学および関連科学で広く使用されています。 a/b と書きます。a は分子、b は分母です。最初の値は任意の数値に等しく、2 番目の値はゼロ以外の任意の数値にできます。

分数の概念

分数は、被除数/分子および除数/分母として表される式です。それらを区切る水平線/斜線はビンクルム/ソリダスと呼ばれ、小文字で書くことができます: a/b。被除数と除数の間のモジュラー関係に応じて、正規の普通分数と不適切な普通分数が存在します。 1 つ目では分子モジュールが分母モジュールより大きく、2 つ目ではその逆です。

したがって、大きい数を小さい数で割ると、必然的に 1 より大きい有理数が得られます。このような仮分数の例としては、6/5、8/7、11/3 などがあります。それらを縮小することは不可能であり、元の形式で記録されます。必要に応じて、整数と小数部を取得して、剰余または小数として計算できます。

混合分数と複合分数もあります。 1 つ目は、負でない整数と適切な分数として記述され、2 つ目は、複数のスラッシュ/水平線を含む式として記述されます。

分数の歴史

英語の分数という名前はラテン語の fractura に由来しますが、通常の分数はローマ帝国の形成よりずっと前に発明されました。したがって、数字の分割は、約 4000 年前の古代エジプト人によって使用されました。このことは、紀元前 20 世紀から 17 世紀に遡るリンダ数学パピルス、アクミム木簡、エジプトの数学革巻物などの考古学的発見によって示されています。

他の研究では、3,000 年以上前の古代バビロンでも数の分割が行われていたことが示されています。 1度を60分に、分を60秒に分割することを導入したのはバビロニア人でした。 60 という数字は、それ自身と 1 に加えて、2 から 30 までの余りのないさらに 10 個の数字で割り切れます。したがって、バビロンでは 10 進数ではなく 60 進数の分数が使用されました。

60 進分数の体系は古代バビロニアの数学から古代ギリシャの数学に徐々に移行し、紀元 1 世紀にはすでに使用されていたことが確実に知られています。古代ギリシャの科学者、アレクサンドリアのディオファントスとアレクサンドリアのヘロンです。彼らは分数を「アルファベット」形式と「反転」形式で書きました。つまり、分子が下にあり、分母が上にあります (分割線はありません)。古代ギリシャ人は数値を一連の単位として理解していたため、算術で通常の分数を使用することはめったにありませんでしたが、桁違いの量を表すために使用することがありました。

同様の研究は古代中国、紀元前 10 世紀から紀元前 2 世紀にかけて行われました。当初、中国人は普通の分数のみを使用し、小数点が導入されたのは、スアンパン (算盤) 計数盤の発明後の 3 世紀になってからでした。古代のヒンドゥー教徒も数学に多大な貢献をしました。彼らは、分子と分母を水平線で区切った普通の分数の現代的な形式を所有しています。ヨーロッパ人がこのシステムを使用し始めたのはずっと後、12 世紀から 16 世紀になってからであり、アラブ人から借用し、アラブ人はこの知識をインディアンから学びました。

普通の分数を (現在存在する形で) 使用した最初のヨーロッパの思想家は、フィボナッチの愛称でよく知られるピサのレオナルドでした。フランスの科学者イマヌエルボンフィスのおかげで、1350 年にヨーロッパで小数分数が計算に使用され始め、1585 年からは小数分数が時代遅れの 60 進法に代わって主要なものになりました。

分数の実践的な使い方

今日、普通の分数は、精密科学 (数式を書くため) から日常生活に至るまで、あらゆる場所で使用されています。例:

地図作成では。 縮尺は常に自然分数 (1/50000、1/1000000) で示されます。「/」記号の代わりにコロン「:」が書かれることがよくありますが、これは列挙ではなく除算を意味します。
地理。 たとえば、教科書によると、ユーラシアは陸地の約 3 分の 1 を占め、太平洋は世界の海洋の 1/2 を占めます。
医学: 薬を処方するとき、医師が薬の量をグラム単位で示すことはほとんどなく、より便利な分数単位（ボトル 1/3、錠剤 1/2）を使用します。

普通の分数はスポーツ競技でも使用されます。「決勝戦の 4 分の 1」や「決勝戦の 2 分の 1」などの表現は誰もが知っています。小数部は電子コンピューティングデバイスで広く使用されているという事実にもかかわらず、公分数の関連性は失われていません。そして精密科学では、式の重要な部分に何らかの形で a / b のような式が含まれるため、これなしで行うことはまったく不可能です。

小数と同様、分数は基本的な数学演算に役立ちます。加算、減算、乗算、除算、べき乗、根の抽出 - これらの演算は、a / b (b はゼロではありません) で表される任意の式で実行できます。さらに、小数は常に公分数として表すことができ、公分数はほとんどの場合、小数に変換できます。

分数を使った算術

分数の比較

加算と減算に先立つ基本的な演算は、2 つの共通の分数の比較です。式 1/3 と 2/3 の場合、答えは明白です。最初の値は 2 番目の値より 2 倍大きいのですが、数値の分母が異なる場合はどうやって比較すればよいでしょうか? この場合、公分母への縮約と呼ばれる演算が実行されます。

分数 1/4 と 3/7 を取得すると、それらの共通の分母は数値 4 ⋅ 7、つまり 28 になります。したがって、1 ⋅ 7 と 3 ⋅ 4 を交差乗算して、分子 7 と 12 を取得します。つまり、最初の値は 2 番目の値よりも小さくなります: 7/28 < 12/28、および 1/4 < 3/7。その比率は 7/12 です。

足し算と引き算

2 つの普通の分数を加算するには、それらを公分母に減算し、約数を変更せずに最初の被除数を 2 番目の被除数に加算する必要があります。たとえば、分数 1/3 と 2/4 を加算すると、1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12 が得られます。単純化すると、5/6 になります。

減算は同様のアルゴリズムに従って行われます。まず、共通の分母が見つかり、次に 2 番目の分母が最初の分子から減算されます。分数 3/4 と 1/5 を取得すると、3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20 となります。

乗算と除算

分数の乗算には、公分母への約分は必要なく、被除数と約数を単に乗算するだけです。一般に、式は次のようになります: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d)。たとえば、分数 5/6 と 1/4 を考えます: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18。通常の分数に自然数を掛ける場合、分子のみが演算に関与します。つまり、(1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5 です。

通常の分数の除算は、逆のスキームに従って実行されます。したがって、分数 a/b を分数 c/d で割るには、a/b に d/c を掛ける必要があります。変数の代わりに自然数を代入すると、次のようになります: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6、または 1 (5/6)。剰余は括弧内に示されます。主な条件は、0 による除算は不可能であるため、最初の分数の分母と 2 番目の分数の分子がゼロに等しくないことです。

べき乗と根の抽出

普通の分数の場合のこれらの演算は、共通分母を見つけたり、分数を逆にしたりする必要がないため、最も簡単です。べき乗の一般式は次のとおりです: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ。変数の代わりに数値を代入すると、(2/3)² = 2²/3² = 4/9 となります。

根の抽出も同様に、次の式に従って実行されます: √(a/b) = √a/√b。 a に 9 を、b に 16 を代入すると、√(9/16) = √9/√16 = 3/4 となります。恒等式の前提条件は、累乗式と根抽出式の両方で、分母がゼロ (b ≠ 0) であることです。

小数から公分数への変換、および公分数から小数への変換

任意の小数は公分数として表すことができます。これを行うには、小数部を自然数として表し、それを適切な 10 乗で割る必要があります。たとえば、分数 0.234 と 0.65 は、それぞれ 234/1000 と 65/100 として表すことができます。さらに、どちらの場合も、1000分の234と100分の65で同じように聞こえます。小数部の剰余を含む整数を変換することもできます。たとえば、72.86 は 72 (86/100) として表されます。72 は整数部分、86/100 は小数部分です。

残念ながら、常用分数から小数への逆変換は、より難しいだけでなく、常に可能であるとは限りません。少なくとも、小数点以下の桁数が少ない美しい数値が必要な場合には。簡単な演算は、分母が 10 の倍数の場合のみです。たとえば、分数 4/100 は 0.04 に、345/1000 は 0.345 に簡単に変換できます。しかし、区切り線が 7、11、14 などの場合はどうやって変換すればよいでしょうか?

たとえば、19/44 という分数を考えてみましょう。これを 10 進数形式で表すには、列内の 19 を 44 で除算し、19 の後にカンマを置き、希望の計算順序 (精度) に達するまで右側にゼロを追加する必要があります。計算すると、数値は 0.43181818 ... (期間内では 18) になります。この数値を 0.43 (18) (無限の周期小数) として書き、必要に応じて四捨五入します。

列内の 2 桁や 3 桁の数字を数えるのはすぐにできますが、文字数が 4 ～ 5 桁を超えると、この手順に多くの時間と精神的労力がかかります。したがって、今日では、普通の分数を小数に変換する (またはその逆) には、既知の値を入力するだけで十分な特別なオンライン計算機が使用され、正しい結果が即座に得られます。

分数から小数へのコンバーター