😍 წილადების კალკულატორი

ათწილად წილადებთან ერთად, რომელთა მნიშვნელები შეიძლება იყოს მხოლოდ ათი ჯერადი, ჩვეულებრივი წილადები ფართოდ გამოიყენება მათემატიკასა და მასთან დაკავშირებულ მეცნიერებებში. ის იწერება როგორც a/b, სადაც a არის მრიცხველი და b არის მნიშვნელი. პირველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვის ტოლი, ხოლო მეორე შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი ნულის გარდა.

წილადის ცნება

წილადი არის გამონათქვამი, რომელიც წარმოდგენილია დივიდენდის/მრიცხველის და გამყოფის/მნიშვნელის სახით. მათ გამყოფ ჰორიზონტალურ/დახრილ ხაზს ეწოდება vinculum/solidus და შეიძლება დაიწეროს მცირე ასოებით: a/b. დივიდენდსა და გამყოფს შორის მოდულარული დამოკიდებულებიდან გამომდინარე, არსებობს რეგულარული და არასწორი ჩვეულებრივი წილადები. პირველში, მრიცხველის მოდული აღემატება მნიშვნელის მოდულს, ხოლო მეორეში, პირიქით.

შესაბამისად, თუ უფრო დიდ რიცხვს გაყოფთ პატარაზე, აუცილებლად მიიღებთ რაციონალურ რიცხვს - ერთზე დიდს. ასეთი არასწორი წილადების მაგალითებია 6/5, 8/7, 11/3 და ა.შ. მათში შემცირება შეუძლებელია და ისინი ჩაწერილია ორიგინალური სახით. საჭიროების შემთხვევაში, მათი გამოთვლა შესაძლებელია მთელი და წილადი ნაწილის მიღებით: დანარჩენში ან ათობითი წილადის სახით.

არსებობს აგრეთვე შერეული და რთული წილადები. პირველი იწერება, როგორც არაუარყოფითი მთელი რიცხვი და სათანადო წილადი, ხოლო მეორე იწერება, როგორც გამონათქვამი, რომელიც შეიცავს რამდენიმე ხაზს/ჰორიზონტალურ ხაზს.

წილადების ისტორია

ინგლისური სახელი ფრაქცია მომდინარეობს ლათინური fractura-დან, მაგრამ ჩვეულებრივი ფრაქციები გამოიგონეს რომის იმპერიის ჩამოყალიბებამდე დიდი ხნით ადრე. ასე რომ, რიცხვების გაყოფას იყენებდნენ ძველი ეგვიპტელები - დაახლოებით 4000 წლის წინ. ამაზე მიუთითებს ისეთი არქეოლოგიური აღმოჩენები, როგორიცაა რინდას მათემატიკური პაპირუსი, ახმის ხის ფირფიტა და ეგვიპტური მათემატიკური ტყავის გრაგნილი, დათარიღებული ძვ.

სხვა კვლევებმა აჩვენა, რომ რიცხვების გაყოფა ასევე ხდებოდა ძველ ბაბილონში, 3000 წელზე მეტი ხნის წინ. სწორედ ბაბილონელებმა შემოიღეს ხარისხის დაყოფა 60 წუთად და წუთები 60 წამში. რიცხვი 60, გარდა თავისისა და ერთისა, იყოფა კიდევ 10 რიცხვზე ნაშთების გარეშე: 2-დან 30-მდე. შესაბამისად, ბაბილონში გამოიყენებოდა არა ათობითი, არამედ სქესობრივი წილადები.

სქესობრივი წილადების სისტემა თანდათან გადავიდა ძველი ბაბილონურიდან ძველ ბერძნულ მათემატიკაში და საიმედოდ ცნობილია, რომ იგი გამოიყენებოდა უკვე ჩვენს წელთაღრიცხვამდე I საუკუნეში: ძველი ბერძენი მეცნიერები დიოფანტე ალექსანდრიელი და ჰერონ ალექსანდრიელი. წილადებს წერდნენ „ანბანური“ და „შებრუნებული“ სახით. ანუ მრიცხველი ბოლოში იყო, მნიშვნელი კი ზევით (გამყოფი ხაზის გარეშე). იმის გამო, რომ ძველ ბერძნებს ესმოდათ რიცხვი, როგორც ერთეულების ერთობლიობა, ისინი იშვიათად იყენებდნენ ჩვეულებრივ წილადებს არითმეტიკაში, მაგრამ ზოგჯერ იყენებდნენ მათ შეუდარებელი სიდიდეების აღსანიშნავად.

მსგავსი კვლევები ჩატარდა ძველ ჩინეთში: ძვ.წ. მე-10-მე-2 საუკუნეებში. თავდაპირველად, ჩინელები იყენებდნენ მხოლოდ ჩვეულებრივ წილადებს, ხოლო ათწილადები შემოიღეს მხოლოდ მე-3 საუკუნეში - სუანპანის (算盤) დათვლის დაფის გამოგონების შემდეგ. მათემატიკაში დიდი წვლილი შეიტანეს ძველმა ინდუსებმაც. სწორედ მათ აქვთ ჩვეულებრივი წილადის თანამედროვე ფორმა - მრიცხველი და მნიშვნელი, რომლებიც გამოყოფილია ჰორიზონტალური ხაზით. ევროპელებმა ამ სისტემის გამოყენება გაცილებით გვიან დაიწყეს - მხოლოდ XII-XVI საუკუნეებში, ისესხეს არაბებისგან, რომლებმაც, თავის მხრივ, ეს ცოდნა ინდიელებისგან ისწავლეს.

პირველი ევროპელი მოაზროვნე, რომელმაც გამოიყენა ჩვეულებრივი წილადები (ისეთი სახით, როგორშიც ისინი დღეს არსებობს) იყო ლეონარდო პიზაელი, რომელიც უფრო ცნობილია თავისი მეტსახელით ფიბონაჩი. 1350 წელს, ათობითი წილადები ევროპაში დაიწყეს გამოთვლებში გამოყენება - ფრანგი მეცნიერის იმანუელ ბონფილსის წყალობით, ხოლო 1585 წლიდან ისინი გახდნენ მთავარი, შეცვალეს მოძველებული სექსისიმალური სისტემა.

წილადების პრაქტიკული გამოყენება

დღეს ჩვეულებრივი წილადები ყველგან გამოიყენება: ზუსტი მეცნიერებებიდან (ფორმულების დასაწერად) ყოველდღიურ ცხოვრებამდე. მაგალითად:

კარტოგრაფიაში. მასშტაბი ყოველთვის მითითებულია როგორც ბუნებრივი წილადი: 1/50000, 1/1000000. "/" ნიშნის ნაცვლად ხშირად იწერება ორწერტილი ":", მაგრამ ეს ნიშნავს დაყოფას და არა ჩამოთვლას.
გეოგრაფიაში. მაგალითად, სახელმძღვანელოების მიხედვით, ევრაზიას უჭირავს მიწის დაახლოებით 1/3, ხოლო წყნარ ოკეანეს - მსოფლიო ოკეანეების 1/2.
მედიცინაში. მედიკამენტების დანიშვნისას ექიმები იშვიათად მიუთითებენ მათ რაოდენობას გრამებში და იყენებენ ზომების უფრო მოსახერხებელ წილადურ სისტემას: 1/3 ბოთლი, 1/2 ტაბლეტი.

ჩვეულებრივი წილადები გამოიყენება სპორტულ შეჯიბრებებშიც კი: ყველამ იცის ისეთი გამოთქმები, როგორიცაა "ფინალის მეოთხედი" ან "ფინალის ნახევარი". იმისდა მიუხედავად, რომ ათობითი წილადები ფართოდ გამოიყენება ელექტრონულ გამოთვლით მოწყობილობებში, საერთო წილადმა არ დაკარგა აქტუალობა. და ზუსტ მეცნიერებებში ამის გარეშე უბრალოდ შეუძლებელია, რადგან ფორმულების მნიშვნელოვანი ნაწილი, ასე თუ ისე, შეიცავს გამონათქვამებს, როგორიცაა a/b.

ათწილადების მსგავსად, წილადები ექვემდებარება ძირითად მათემატიკურ ოპერაციებს. შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, ხარისხზე აწევა, ფესვების ამოღება - ეს ოპერაციები შეიძლება შესრულდეს ნებისმიერი გამონათქვამით, რომელიც წარმოდგენილია a/b სახით, სადაც b არ არის ნულის ტოლი. გარდა ამისა, ათწილადი ყოველთვის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც საერთო წილადი, ხოლო საერთო წილადი თითქმის ყოველთვის შეიძლება გადაკეთდეს ათწილადად.

არითმეტიკა წილადებით

წილადების შედარება

ძირითადი ოპერაცია, რომელიც წინ უსწრებს შეკრებას და გამოკლებას, არის ორი საერთო წილადის შედარება. 1/3 და 2/3 გამონათქვამების შემთხვევაში პასუხი აშკარაა: პირველი 2-ჯერ მეტია მეორეზე, მაგრამ როგორ შევადაროთ, როცა რიცხვების მნიშვნელები განსხვავდება? ამ შემთხვევაში, შესრულებულია ოპერაცია, რომელიც ცნობილია როგორც საერთო მნიშვნელის შემცირება.

თუ წილადებს ავიღებთ 1/4 და 3/7, მათი საერთო მნიშვნელი იქნება რიცხვი 4 ⋅ 7, ან 28. შესაბამისად, ვამრავლებთ 1 ⋅ 7 და 3 ⋅ 4 და მივიღებთ 7 და 12 მრიცხველებს. იგივე მნიშვნელით 28. ასე რომ პირველი ნაკლებია მეორეზე: 7/28 < 12/28 და 1/4 < 3/7. და მათი თანაფარდობა არის 7/12.

შეკრება და გამოკლება

ორი ჩვეულებრივი წილადის დასამატებლად, ისინი ასევე უნდა შემცირდეს საერთო მნიშვნელამდე და შემდეგ დავუმატოთ პირველი დივიდენდი მეორეს, დატოვოთ გამყოფი უცვლელი. მაგალითად, თუ დაამატებთ წილადებს 1/3 და 2/4, მივიღებთ: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. გაამარტივეთ და მიიღეთ: 5/6.

გამოკლება ხდება მსგავსი ალგორითმის მიხედვით: ჯერ მოიძებნება საერთო მნიშვნელი, შემდეგ კი მეორე აკლდება პირველ მრიცხველს. თუ ავიღებთ წილადებს 3/4 და 1/5, მივიღებთ: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

გამრავლება და გაყოფა

წილადების გასამრავლებლად, საერთო მნიშვნელზე შემცირება არ არის საჭირო, დივიდენდები და გამყოფები უბრალოდ მრავლდება ერთად. ზოგადად, ფორმულა ასე გამოიყურება: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). მაგალითად, აიღეთ წილადები 5/6 და 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. თუ ჩვეულებრივი წილადი მრავლდება ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ ოპერაციაში ჩართულია მხოლოდ მრიცხველი. ეს არის: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

ჩვეულებრივი წილადების დაყოფა ხორციელდება საპირისპირო სქემის მიხედვით. ასე რომ, a/b წილადის c/d წილადზე გასაყოფად საჭიროა a/b გაამრავლოთ d/c-ზე. ცვლადების ნაცვლად ნატურალური რიცხვების ჩანაცვლებით მივიღებთ: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, ან 1 (5/6), სადაც ფრჩხილებში მითითებულია დარჩენილი. მთავარი პირობაა, რომ პირველი წილადის მნიშვნელი და მეორის მრიცხველი არ იყოს ნულის ტოლი, რადგან 0-ზე გაყოფა შეუძლებელია.

ექსპონენტაცია და ფესვის ამოღება

ჩვეულებრივი წილადების შემთხვევაში ეს ოპერაციები ყველაზე მარტივია, რადგან ისინი არ საჭიროებენ საერთო მნიშვნელის პოვნას ან წილადების შებრუნებას. გაძლიერების ზოგადი ფორმულაა: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. ცვლადების ნაცვლად რიცხვების ჩანაცვლებით მივიღებთ: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

ძირის ამოღება ხორციელდება ანალოგიურად, ფორმულის მიხედვით: √(a/b) = √a/√b. თუ a-ს შევცვლით 9-ით და b-ით 16, მივიღებთ: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. იდენტობების წინაპირობაა ნულის გარდა სხვა მნიშვნელი (b ≠ 0): როგორც გაძლიერების ფორმულისთვის, ასევე ფესვის ამოღების ფორმულისთვის.

ათწილადების გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებად და საერთო წილადების ათწილადებად გადაქცევა

ნებისმიერი ათობითი წილადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც საერთო წილადი. ამისათვის თქვენ უნდა წარმოადგინოთ მისი წილადი ნაწილი, როგორც ნატურალური რიცხვი და გაყოთ იგი 10-ის შესაბამის ხარისხზე. მაგალითად, წილადები 0,234 და 0,65 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 234/1000 და 65/100, შესაბამისად. უფრო მეტიც, ორივე შემთხვევაში ისინი ერთნაირად ჟღერს: ორას ოცდათოთხმეტი ათასი და სამოცდახუთი მეასედი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გადაიყვანოთ მთელი რიცხვები წილადი ნაშთებით. მაგალითად, 72.86 წარმოდგენილია როგორც 72 (86/100), სადაც 72 არის მთელი რიცხვი, ხოლო 86/100 არის წილადი ნაწილი.

სამწუხაროდ, საპირისპირო კონვერტაცია - საერთო წილადიდან ათწილადამდე - არა მხოლოდ უფრო რთულია, არამედ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. ყოველ შემთხვევაში - თუ თქვენ გჭირდებათ ლამაზი რიცხვი ათწილადების მცირე რაოდენობით. მარტივი ოპერაციაა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მნიშვნელი არის 10-ის ჯერადი. მაგალითად, წილადი 4/100 ადვილად შეიძლება გადაკეთდეს 0,04-ად, ხოლო 345/1000 0,345-ად. მაგრამ როგორ გადავიტანოთ თუ გამყოფი ხაზი არის რიცხვი 7, 11, 14 და ასე შემდეგ?

მაგალითად, ავიღოთ წილადი 19/44. ათწილადის სახით წარმოსადგენად, თქვენ უნდა გაყოთ 19 44-ზე სვეტში, 19-ის შემდეგ მძიმით დადოთ და მარჯვნივ დაუმატოთ ნულები, სანამ არ მიიღწევა გამოთვლის სასურველი რიგი (სიზუსტე). გაანგარიშება გამოიწვევს იმ ფაქტს, რომ რიცხვი იქნება 0.43181818 ... (პერიოდში 18). ჩვენ ვწერთ რიცხვს 0,43 (18) - უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი და საჭიროების შემთხვევაში ვამრგვალებთ.

შეგიძლიათ სწრაფად დათვალოთ ორნიშნა და სამნიშნა რიცხვები სვეტში, მაგრამ როდესაც სიმბოლოების რაოდენობა 4-5-ს აჭარბებს, პროცედურას დიდი დრო და გონებრივი ძალისხმევა სჭირდება. ამიტომ, დღეს, ჩვეულებრივი წილადების ათწილადებად გადაქცევისთვის (და პირიქით), გამოიყენება სპეციალური ონლაინ კალკულატორები, სადაც საკმარისია შეიყვანოთ ცნობილი მნიშვნელობები და მყისიერად მიიღოთ სწორი შედეგი.

წილადის ათწილადზე გადამყვანი