😍 Frakcijos skaičiuoklė

Trupmenos į dešimtainį skaičių keitiklis

Kartu su dešimtainėmis trupmenomis, kurių vardikliai gali būti tik dešimties kartotiniai, matematikoje ir susijusiuose moksluose plačiai naudojamos paprastosios trupmenos. Jis parašytas kaip a/b, kur a yra skaitiklis, o b yra vardiklis. Pirmasis gali būti lygus bet kuriam skaičiui, o antrasis gali būti bet koks skaičius, išskyrus nulį.

Trupumos sąvoka

Trupmena yra išraiška, pavaizduota kaip dividendas / skaitiklis ir daliklis / vardiklis. Juos skirianti horizontali/pasvirusi linija vadinama vinculum/solidus ir gali būti rašoma mažosiomis raidėmis: a/b. Priklausomai nuo modulinio ryšio tarp dividendo ir daliklio, yra reguliarios ir netinkamos paprastosios trupmenos. Pirmajame skaitiklio modulis yra didesnis nei vardiklio modulis, o antrajame – atvirkščiai.

Atitinkamai, jei didesnį skaičių padalinsite iš mažesnio, neišvengiamai gausite racionalų skaičių – didesnį už vieną. Tokių netinkamų trupmenų pavyzdžiai yra 6/5, 8/7, 11/3 ir pan. Jų sumažinti neįmanoma, jie įrašomi originalia forma. Jei reikia, jas galima apskaičiuoti gaunant sveikąjį skaičių ir trupmeninę dalį: likusioje dalyje arba kaip dešimtainę trupmeną.

Taip pat yra mišrios ir sudėtinės frakcijos. Pirmasis rašomas kaip neneigiamas sveikasis skaičius ir tinkama trupmena, o antrasis rašomas kaip išraiška, kurią sudaro keli pasvirieji brūkšniai / horizontalios linijos.

Trupmenų istorija

Angliškas trupmenos pavadinimas kilęs iš lotyniško žodžio fractura, tačiau paprastosios trupmenos buvo išrastos dar gerokai prieš susiformuojant Romos imperijai. Taigi skaičių padalijimą naudojo senovės egiptiečiai – maždaug prieš 4000 metų. Tai rodo tokie archeologiniai radiniai kaip Rindos matematinis papirusas, medinė Akhmimo lentelė ir egiptiečių matematinis odinis ritinys, datuojamas XX–XVII amžiais prieš Kristų.

Kiti tyrimai rodo, kad skaičius buvo dalijamas ir senovės Babilone, daugiau nei prieš 3000 metų. Būtent babiloniečiai įvedė laipsnio padalijimą į 60 minučių, o minutes – į 60 sekundžių. Skaičius 60, be savęs ir vieneto, dalijasi iš dar 10 skaičių be likučio: nuo 2 iki 30. Atitinkamai Babilone buvo naudojamos ne dešimtainės, o šeštadieninės trupmenos.

Seksagesimalių trupmenų sistema palaipsniui perėjo iš senovės babiloniečių į senovės graikų matematiką ir patikimai žinoma, kad ji buvo naudojama jau I mūsų eros amžiuje: senovės graikų mokslininkai Diofantas Aleksandrietis ir Heronas Aleksandrietis. Jie rašė trupmenas „abėcėlės“ ir „apversta“ forma. Tai yra, skaitiklis buvo apačioje, o vardiklis viršuje (be skiriamosios linijos). Kadangi senovės graikai skaičių suprato kaip vienetų rinkinį, jie retai naudojo paprastąsias trupmenas aritmetikoje, tačiau kartais jas vartojo nelygiems dydžiams žymėti.

Panašūs tyrimai buvo atlikti senovės Kinijoje: nuo 10 iki 2 a. pr. Iš pradžių kinai naudojo tik paprastas trupmenas, o dešimtainės dalys buvo įvestos tik III mūsų eros amžiuje – išradus suanpan (算盤) skaičiavimo lentą. Senovės induistai taip pat daug prisidėjo prie matematikos. Būtent jiems priklauso šiuolaikinė paprastosios trupmenos forma - skaitiklis ir vardiklis, atskirti horizontalia linija. Europiečiai šią sistemą pradėjo naudoti daug vėliau – tik XII-XVI a., pasiskolinę ją iš arabų, kurie savo ruožtu šių žinių išmoko iš indų.

Pirmasis Europos mąstytojas, naudojęs paprastąsias trupmenas (tokia, kokia jos egzistuoja dabar), buvo Leonardo iš Pizos, geriau žinomas Fibonačio slapyvardžiu. 1350 m. Europoje skaičiuojant pradėtos naudoti dešimtainės trupmenos – prancūzų mokslininko Immanuelio Bonfilso dėka, o nuo 1585 m. jos tapo pagrindinėmis, pakeičiančiomis pasenusią šešiakaulio sistemą.

Praktinis trupmenų naudojimas

Šiandien paprastosios trupmenos naudojamos visur: nuo tiksliųjų mokslų (formulėms rašyti) iki kasdienybės. Pavyzdžiui:

Kartografijoje. Skalė visada nurodoma kaip natūrali trupmena: 1/50000, 1/1000000. Vietoj „/“ ženklo dažnai rašomas dvitaškis „:“, tačiau tai reiškia padalijimą, o ne surašymą.
Geografijoje. Pavyzdžiui, pagal vadovėlius Eurazija užima apie 1/3 sausumos, o Ramusis vandenynas – 1/2 pasaulio vandenynų.
Medicinoje. Išrašydami vaistus gydytojai retai nurodo jų kiekį gramais, taiko patogesnę trupmeninę matavimo sistemą: 1/3 buteliuko, 1/2 tabletės.

Paprastosios trupmenos naudojamos net sporto varžybose: visi žino tokius posakius kaip „finalio ketvirtis“ arba „pusė finalo“. Nepaisant to, kad dešimtainės trupmenos plačiai naudojamos elektroniniuose skaičiavimo įrenginiuose, bendroji trupmena neprarado savo aktualumo. O tiksliuosiuose moksluose be jo tiesiog neįmanoma apsieiti, nes nemaža dalis formulių vienaip ar kitaip turi tokius posakius kaip a / b.

Dešimtainio skaičiaus į trupmeną keitiklis

Kaip ir dešimtainės dalys, trupmenos tinka pagrindinėms matematinėms operacijoms. Sudėjimas, atimtis, daugyba, dalyba, kėlimas į laipsnį, šaknų išskyrimas – šias operacijas galima atlikti su bet kokiomis išraiškomis, pavaizduotomis kaip a / b, kur b nėra lygus nuliui. Be to, dešimtainė trupmena visada gali būti pavaizduota kaip bendroji trupmena, o paprastąją trupmeną beveik visada galima konvertuoti į dešimtainę.

Aritmetika su trupmenomis

Trupmenų palyginimas

Pagrindinė operacija, atliekama prieš sudėjimą ir atimtį, yra dviejų bendrųjų trupmenų palyginimas. Esant posakiams 1/3 ir 2/3 atsakymas akivaizdus: pirmasis yra 2 kartus didesnis nei antrasis, bet kaip palyginti, kai skaičių vardikliai skiriasi? Tokiu atveju atliekama operacija, vadinama sumažinimu iki bendro vardiklio.

Jei imsime trupmenas 1/4 ir 3/7, jų bendras vardiklis bus skaičius 4 ⋅ 7 arba 28. Atitinkamai padauginame 1 ⋅ 7 ir 3 ⋅ 4 ir gauname skaitiklius 7 ir 12 su tuo pačiu vardikliu 28. Taigi pirmasis mažesnis nei antrasis: 7/28 < 12/28, o 1/4 < 3/7. O jų santykis yra 7/12.

Sudėjimas ir atėmimas

Norint pridėti dvi paprastąsias trupmenas, jas taip pat reikia sumažinti iki bendro vardiklio, o tada pridėti pirmąjį dividendą prie antrojo, o daliklis lieka nepakitęs. Pavyzdžiui, jei pridėsite trupmenas 1/3 ir 2/4, gausime: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Supaprastinkite ir gaukite: 5/6.

Atimtis vyksta pagal panašų algoritmą: pirmiausia randamas bendras vardiklis, o tada antrasis atimamas iš pirmojo skaitiklio. Jei imsime trupmenas 3/4 ir 1/5, gausime: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Daugyba ir padalijimas

Norint padauginti trupmenas, redukuoti iki bendro vardiklio nereikia, dividendai ir dalikliai tiesiog dauginami kartu. Apskritai formulė atrodo taip: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Pavyzdžiui, paimkite trupmenas 5/6 ir 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1) / (6 ⋅ 3) = 5/18. Jei paprastoji trupmena padauginama iš natūraliojo skaičiaus, tada veiksme dalyvauja tik skaitiklis. Tai yra: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Paprastųjų frakcijų padalijimas atliekamas pagal atvirkštinę schemą. Taigi, norint padalyti trupmeną a/b iš trupmenos c/d, reikia a/b padauginti iš d/c. Vietoj kintamųjų pakeitę natūraliuosius skaičius, gauname: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, arba 1 (5/6), kur likusi dalis nurodoma skliausteliuose. Pagrindinė sąlyga yra ta, kad pirmosios trupmenos vardiklis ir antrosios skaitiklis neturi būti lygus nuliui, nes dalyti iš 0 neįmanoma.

Dauginimas ir šaknų ištraukimas

Šios operacijos paprastosios trupmenos atveju yra pačios paprasčiausios, nes joms nereikia rasti bendro vardiklio ar apversti trupmenų. Bendroji eksponencijos formulė yra: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Vietoj kintamųjų pakeitę skaičius, gauname: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Šaknies ištraukimas atliekamas panašiai, pagal formulę: √(a/b) = √a/√b. Jei a pakeisime 9, o b – 16, gausime: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Būtina tapatybių sąlyga yra vardiklis, kuris nėra lygus nuliui (b ≠ 0): ir eksponencijos formulėje, ir šaknies ištraukimo formulėje.

Dešimtainių skaičių konvertavimas į bendrąsias trupmenas ir paprastąsias trupmenas į dešimtaines

Bet kokia dešimtainė trupmena gali būti pavaizduota kaip bendroji trupmena. Norėdami tai padaryti, jo trupmeninę dalį turite pavaizduoti kaip natūralųjį skaičių ir padalyti iš atitinkamos laipsnio 10. Pavyzdžiui, trupmenos 0,234 ir 0,65 gali būti atitinkamai pavaizduotos kaip 234/1000 ir 65/100. Be to, abiem atvejais jie skambės vienodai: du šimtai trisdešimt keturios tūkstantosios ir šešiasdešimt penkios šimtosios dalys. Taip pat galite konvertuoti sveikuosius skaičius su trupmeninėmis liekanomis. Pavyzdžiui, 72,86 pavaizduotas kaip 72 (86/100), kur 72 yra sveikoji dalis, o 86/100 yra trupmeninė dalis.

Deja, atvirkštinis konvertavimas iš bendrosios trupmenos į dešimtainį skaičių yra ne tik sunkesnis, bet ir ne visada įmanomas. Bent jau – jei reikia gražaus skaičiaus su nedideliu skaičiumi po kablelio. Paprastas veiksmas yra tik tuo atveju, jei vardiklis yra 10 kartotinis. Pavyzdžiui, trupmeną 4/100 galima lengvai paversti 0,04, o 345/1000 – 0,345. Bet kaip konvertuoti, jei skiriamoji eilutė yra 7, 11, 14 ir tt?

Pavyzdžiui, paimkime trupmeną 19/44. Norėdami jį pavaizduoti dešimtaine forma, stulpelyje turite padalyti 19 iš 44, po 19 dedant kablelį ir pridedant nulius dešinėje, kol bus pasiekta norima skaičiavimo tvarka (tikslumas). Skaičiavimas lems tai, kad skaičius bus 0,43181818 ... (18 per laikotarpį). Rašome skaičių kaip 0,43 (18) – begalinę periodinę dešimtainę trupmeną ir, jei reikia, apvaliname.

Stulpelyje galite greitai suskaičiuoti dviženklius ir triženklius skaičius, tačiau kai simbolių skaičius viršija 4–5, procedūra užima daug laiko ir pastangų. Todėl šiandien, norint konvertuoti įprastas trupmenas į dešimtainius (ir atvirkščiai), naudojami specialūs internetiniai skaičiuotuvai, kuriuose pakanka įvesti žinomas reikšmes ir akimirksniu gauti teisingą rezultatą.

Trupmenos į dešimtainį skaičių keitiklis