😍 Daļskaitļu kalkulators

Daļskaitļa pārveidotājs uz decimāldaļskaitli

Līdzās decimāldaļskaitļiem, kuru saucēji var būt tikai desmitkārtīgi, matemātikā un ar to saistītās zinātnēs plaši izmanto parastās daļskaitļus. To raksta kā a/b, kur a ir skaitītājs un b ir saucējs. Pirmais var būt vienāds ar jebkuru skaitli, bet otrais var būt jebkurš skaitlis, izņemot nulli.

Daļskaitļa jēdziens

Daļskaitlis ir izteiksme, kas attēlota kā dividende/skaitītājs un dalītājs/saucējs. Horizontālo/slīpu līniju, kas tos atdala, sauc par vinculum/solidus, un to var rakstīt ar mazajiem burtiem: a/b. Atkarībā no modulārās attiecības starp dividendi un dalītāju, pastāv regulāras un nepareizas parastās daļas. Pirmajā skaitītāja modulis ir lielāks par saucēja moduli, bet otrajā otrādi.

Attiecīgi, ja jūs dalāt lielāku skaitli ar mazāku, jūs neizbēgami iegūsit racionālu skaitli — lielāku par vienu. Šādu nepareizu daļskaitļu piemēri ir 6/5, 8/7, 11/3 utt. To samazināšana nav iespējama, un tie tiek ierakstīti sākotnējā formā. Ja nepieciešams, tos var aprēķināt, iegūstot veselu skaitli un daļskaitli: atlikumā vai kā decimāldaļskaitli.

Ir arī jauktas un saliktas frakcijas. Pirmais ir uzrakstīts kā nenegatīvs vesels skaitlis un pareiza daļa, bet otrais ir uzrakstīts kā izteiksme, kas satur vairākas slīpsvītras/horizontālas līnijas.

Daļskaitļu vēsture

Angļu valodas nosaukums frakcija cēlies no latīņu vārda fractura, bet parastās frakcijas tika izgudrotas ilgi pirms Romas impērijas izveidošanas. Tātad skaitļu dalīšanu izmantoja senie ēģiptieši - apmēram pirms 4000 gadiem. Uz to liecina tādi arheoloģiskie atradumi kā Rindas matemātiskais papiruss, Ahmima koka plāksne un Ēģiptes matemātiskais ādas tīsts, kas datēts ar 20.–17. gadsimtu pirms mūsu ēras.

Citi pētījumi liecina, ka skaitļu dalīšana tika veikta arī senajā Babilonijā pirms vairāk nekā 3000 gadiem. Babilonieši bija tie, kas ieviesa grādu sadalīšanu 60 minūtēs un minūtes 60 sekundēs. Skaitlis 60, papildus sev un vienam, bez atlikuma dalās ar vēl 10 skaitļiem: no 2 līdz 30. Attiecīgi Babilonā tika izmantotas nevis decimāldaļas, bet gan seksagesimālās daļas.

Seksagesimālo daļu sistēma pakāpeniski migrēja no senās babiloniešu uz sengrieķu matemātiku, un ir droši zināms, ka to izmantoja jau mūsu ēras 1. gadsimtā: sengrieķu zinātnieki Aleksandrijas Diofants un Aleksandrijas Herons. Viņi rakstīja daļskaitļus "alfabētiskā" un "apgrieztā" formā. Tas ir, skaitītājs bija apakšā, un saucējs bija augšpusē (bez dalīšanas līnijas). Tā kā senie grieķi skaitļus saprata kā vienību kopu, viņi aritmētikā reti izmantoja parastās daļskaitļus, bet dažkārt izmantoja nesalīdzināmu lielumu apzīmēšanai.

Līdzīgi pētījumi tika veikti senajā Ķīnā: no 10. līdz 2. gadsimtam pirms mūsu ēras. Sākotnēji ķīnieši izmantoja tikai parastās daļskaitļus, un decimāldaļas tika ieviestas tikai mūsu ēras 3. gadsimtā – pēc suanpan (算盤) skaitīšanas dēļa izgudrošanas. Senie hinduisti arī sniedza nozīmīgu ieguldījumu matemātikā. Tieši viņiem pieder parastās daļskaitļa mūsdienu forma - skaitītājs un saucējs, kas atdalīti ar horizontālu līniju. Eiropieši šo sistēmu sāka lietot daudz vēlāk – tikai XII-XVI gadsimtā, aizgūstot to no arābiem, kuri savukārt šīs zināšanas apguvuši no indiešiem.

Pirmais Eiropas domātājs, kas izmantoja parastās daļskaitļus (tādā formā, kādā tās pastāv tagad), bija Leonardo no Pizas, labāk pazīstams ar savu segvārdu Fibonači. 1350. gadā Eiropā aprēķinos sāka izmantot decimāldaļdaļas – pateicoties franču zinātniekam Imanuelam Bonfilam, un no 1585. gada tās kļuva par galvenajām, aizstājot novecojušo seksagesimālo sistēmu.

Praktiska frakciju izmantošana

Mūsdienās parastās daļskaitļus izmanto visur: no eksaktajām zinātnēm (formulu rakstīšanai) līdz sadzīvē. Piemēram:

Kartogrāfijā. Mērogs vienmēr tiek norādīts kā dabiskā daļa: 1/50000, 1/1000000. Zīmes "/" vietā bieži tiek rakstīts kols ":", taču tas nozīmē dalīšanu, nevis uzskaitīšanu.
Ģeogrāfijā. Piemēram, saskaņā ar mācību grāmatām Eirāzija aizņem aptuveni 1/3 no sauszemes, bet Klusais okeāns - 1/2 no pasaules okeāna.
Medicīnā. Ārsti, izrakstot zāles, reti norāda to daudzumu gramos un izmanto ērtāku frakcionētu mēru sistēmu: 1/3 pudele, 1/2 tablete.

Parastās daļskaitļus lieto pat sporta sacensībās: visi zina tādus izteicienus kā "fināla ceturtdaļa" vai "fināla puse". Neskatoties uz to, ka decimāldaļskaitļus plaši izmanto elektroniskajās skaitļošanas ierīcēs, parastā daļa nav zaudējusi savu aktualitāti. Un eksaktajās zinātnēs bez tā vienkārši nav iespējams iztikt, jo ievērojama daļa formulu vienā vai otrā veidā satur tādas izteiksmes kā a / b.

Decimāldaļskaitļa pārveidotājs uz daļskaitli

Tāpat kā decimāldaļas, arī daļskaitļi ir piemēroti pamata matemātiskām darbībām. Saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana, paaugstināšana līdz pakāpei, sakņu iegūšana - šīs darbības var veikt ar jebkādām izteiksmēm, kas attēlotas kā a / b, kur b nav vienāds ar nulli. Turklāt decimāldaļu vienmēr var attēlot kā parastu daļskaitli, un parasto daļskaitli gandrīz vienmēr var pārveidot par decimāldaļu.

Aritmētika ar daļskaitļiem

Daļskaitļu salīdzināšana

Pamatdarbība pirms saskaitīšanas un atņemšanas ir divu parasto daļskaitļu salīdzināšana. Izteiksmju 1/3 un 2/3 gadījumā atbilde ir acīmredzama: pirmais ir 2 reizes lielāks par otro, bet kā salīdzināt, ja skaitļu saucēji atšķiras? Šajā gadījumā tiek veikta darbība, kas pazīstama kā samazināšana līdz kopsaucējam.

Ja ņemam daļskaitļus 1/4 un 3/7, to kopsaucējs būs skaitlis 4 ⋅ 7 vai 28. Attiecīgi mēs krusteniski reizinām 1 ⋅ 7 un 3 ⋅ 4 un iegūstam skaitītājus 7 un 12. ar tādu pašu saucēju 28. Tātad pirmais mazāks par otro: 7/28 < 12/28, un 1/4 < 3/7. Un to attiecība ir 7/12.

Saskaitīšana un atņemšana

Lai pievienotu divas parastās daļskaitļus, tās arī jāsamazina līdz kopsaucējam un pēc tam jāpievieno pirmā dividende otrajai, dalītāju atstājot nemainīgu. Piemēram, ja pievienojat daļskaitļus 1/3 un 2/4, mēs iegūstam: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Vienkāršojiet un iegūstiet: 5/6.

Atņemšana notiek saskaņā ar līdzīgu algoritmu: vispirms tiek atrasts kopsaucējs, bet pēc tam no pirmā skaitītāja tiek atņemts otrais. Ja ņemam daļskaitļus 3/4 un 1/5, mēs iegūstam: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Reizināšana un dalīšana

Lai reizinātu daļskaitļus, reducēšana līdz kopsaucējam nav nepieciešama, dividendes un dalītājus vienkārši reizina kopā. Kopumā formula izskatās šādi: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Piemēram, ņemiet daļskaitļus 5/6 un 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Ja parasto daļskaitli reizina ar naturālu skaitli, tad darbībā tiek iesaistīts tikai skaitītājs. Tas ir: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Parasto frakciju dalīšana tiek veikta saskaņā ar apgriezto shēmu. Tātad, lai dalītu daļu a/b ar daļu c/d, a/b jāreizina ar d/c. Mainīgo vietā aizstājot naturālus skaitļus, iegūstam: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, vai 1 (5/6), kur atlikums ir norādīts iekavās. Galvenais nosacījums ir tāds, ka pirmās daļdaļas saucējs un otrās skaitītājs nedrīkst būt vienāds ar nulli, jo dalīt ar 0 nav iespējams.

Paaugstināšana un sakņu ekstrakcija

Šīs darbības parasto daļskaitļu gadījumā ir visvienkāršākās, jo tām nav jāatrod kopsaucējs vai jāapgriež daļskaitļi. Vispārīgā eksponēšanas formula ir: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Mainīgo vietā aizstājot skaitļus, mēs iegūstam: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Saknes ekstrakcija tiek veikta līdzīgi, pēc formulas: √(a/b) = √a/√b. Ja aizvietojam ar 9 un b ar 16, mēs iegūstam: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Identitātes priekšnoteikums ir saucējs, kas nav nulle (b ≠ 0): gan eksponēšanas formulai, gan saknes ekstrakcijas formulai.

Decimāldaļu pārvēršana par parastajiem daļskaitļiem un parasto daļskaitļu pārvēršana decimāldaļās

Jebkuru decimāldaļu var attēlot kā parasto daļskaitli. Lai to izdarītu, jums ir jāattēlo tā daļēja daļa kā naturāls skaitlis un jāsadala ar atbilstošo pakāpju 10. Piemēram, daļskaitļus 0,234 un 0,65 var attēlot attiecīgi kā 234/1000 un 65/100. Turklāt abos gadījumos tie skanēs vienādi: divi simti trīsdesmit četras tūkstošdaļas un sešdesmit piecas simtdaļas. Varat arī konvertēt veselus skaitļus ar daļējām atlikumiem. Piemēram, 72,86 ir attēlots kā 72 (86/100), kur 72 ir vesela skaitļa daļa un 86/100 ir daļēja daļa.

Diemžēl apgrieztā konvertēšana — no parastās daļskaitļa uz decimāldaļu — ir ne tikai grūtāka, bet arī ne vienmēr iespējama. Vismaz – ja vajag skaistu skaitli ar nelielu skaitu aiz komata. Vienkārša darbība ir tikai tad, ja saucējs ir reizināts ar 10. Piemēram, daļu 4/100 var viegli pārvērst par 0,04 un 345/1000 par 0,345. Bet kā konvertēt, ja atdalošā līnija ir skaitlis 7, 11, 14 un tā tālāk?

Piemēram, ņemsim daļskaitli 19/44. Lai to attēlotu decimāldaļā, kolonnā jādala 19 ar 44, aiz 19 liekot komatu un labajā pusē pievienojot tam nulles, līdz tiek sasniegta vēlamā aprēķinu secība (precizitāte). Aprēķins novedīs pie tā, ka skaitlis būs 0,43181818 ... (18 periodā). Mēs rakstām skaitli kā 0,43 (18) — bezgalīgu periodisku decimāldaļskaitli un, ja nepieciešams, to noapaļo.

Jūs varat ātri saskaitīt divciparu un trīsciparu skaitļus kolonnā, bet, ja rakstzīmju skaits pārsniedz 4–5, procedūra aizņem daudz laika un garīgās pūles. Tāpēc šodien, lai pārvērstu parastās daļskaitļus decimāldaļās (un otrādi), tiek izmantoti īpaši tiešsaistes kalkulatori, kuros pietiek ievadīt zināmas vērtības un uzreiz iegūt pareizo rezultātu.

Daļskaitļa pārveidotājs uz decimāldaļskaitli