😍 Kalkulator pecahan

Bersama-sama dengan pecahan perpuluhan, yang penyebutnya hanya boleh menjadi gandaan sepuluh, pecahan biasa digunakan secara meluas dalam matematik dan sains berkaitan. Ia ditulis sebagai a/b, dengan a adalah pengangka dan b adalah penyebut. Yang pertama boleh sama dengan sebarang nombor, dan yang kedua boleh menjadi sebarang nombor kecuali sifar.

Konsep pecahan

Pecahan ialah ungkapan yang diwakili sebagai dividen/pembilang dan pembahagi/penyebut. Garis mendatar/serong yang memisahkannya dipanggil vinculum/solidus, dan boleh ditulis dengan huruf kecil: a/b. Bergantung pada hubungan modular antara dividen dan pembahagi, terdapat pecahan biasa yang tetap dan tidak wajar. Dalam yang pertama, modul pengangka lebih besar daripada modul penyebut, dan dalam yang kedua, sebaliknya.

Oleh itu, jika anda membahagi nombor yang lebih besar dengan yang lebih kecil, anda pasti akan mendapat nombor rasional - lebih besar daripada satu. Contoh pecahan tak wajar tersebut ialah 6/5, 8/7, 11/3, dan seterusnya. Pengurangan di dalamnya adalah mustahil, dan ia direkodkan dalam bentuk asalnya. Jika perlu, ia boleh dikira dengan mendapatkan integer dan bahagian pecahan: dalam baki atau sebagai pecahan perpuluhan.

Terdapat juga pecahan bercampur dan pecahan majmuk. Yang pertama ditulis sebagai integer bukan negatif dan pecahan wajar, dan yang kedua ditulis sebagai ungkapan yang mengandungi beberapa garis miring/mendatar.

Sejarah pecahan

Pecahan nama Inggeris berasal daripada fraktura Latin, tetapi pecahan biasa telah dicipta jauh sebelum pembentukan Empayar Rom. Jadi, pemisahan nombor telah digunakan oleh orang Mesir kuno - kira-kira 4000 tahun dahulu. Ini ditunjukkan oleh penemuan arkeologi seperti papirus matematik Rinda, tablet kayu Akhmim dan skrol kulit matematik Mesir bertarikh dari abad ke-20 hingga ke-17 SM.

Kajian lain menunjukkan bahawa pemisahan nombor juga dilakukan di Babylon purba, lebih 3,000 tahun dahulu. Orang Babylonlah yang memperkenalkan pembahagian darjah kepada 60 minit, dan minit kepada 60 saat. Nombor 60, sebagai tambahan kepada dirinya sendiri dan satu, boleh dibahagikan dengan 10 lagi nombor tanpa baki: dari 2 hingga 30. Oleh itu, bukan perpuluhan, tetapi pecahan seksagesimal digunakan di Babylon.

Sistem pecahan seksagesimal secara beransur-ansur berhijrah dari Babylonia purba ke matematik Yunani purba, dan pasti diketahui bahawa ia telah digunakan pada abad ke-1 Masihi: saintis Yunani purba Diophantus dari Alexandria dan Heron dari Alexandria. Mereka menulis pecahan dalam bentuk "abjad" dan dalam bentuk "terbalik". Iaitu, pengangka berada di bahagian bawah, dan penyebut berada di bahagian atas (tanpa garis pemisah). Disebabkan oleh fakta bahawa orang Yunani purba memahami nombor sebagai satu set unit, mereka jarang menggunakan pecahan biasa dalam aritmetik, tetapi kadangkala menggunakannya untuk menandakan kuantiti yang tidak boleh dibandingkan.

Kajian serupa telah dijalankan di China purba: dari abad ke-10 hingga ke-2 SM. Pada mulanya, orang Cina hanya menggunakan pecahan biasa, dan perpuluhan hanya diperkenalkan pada abad ke-3 Masihi - selepas penciptaan papan pengiraan suanpan (算盤). Orang Hindu purba juga memberi sumbangan besar kepada matematik. Merekalah yang memiliki bentuk moden pecahan biasa - pengangka dan penyebut, dipisahkan oleh garis mendatar. Orang Eropah mula menggunakan sistem ini lebih lama kemudian - hanya pada abad XII-XVI, meminjamnya daripada orang Arab, yang seterusnya, mempelajari pengetahuan ini daripada orang India.

Pemikir Eropah pertama yang menggunakan pecahan biasa (dalam bentuk yang wujud sekarang) ialah Leonardo dari Pisa, lebih dikenali dengan nama panggilannya Fibonacci. Pada tahun 1350, pecahan perpuluhan mula digunakan di Eropah dalam pengiraan - terima kasih kepada saintis Perancis Immanuel Bonfils, dan dari 1585 ia menjadi yang utama, menggantikan sistem seksagesimal yang sudah lapuk.

Penggunaan pecahan praktikal

Hari ini, pecahan biasa digunakan di mana-mana: daripada sains tepat (untuk menulis formula) kepada kehidupan seharian. Contohnya:

Dalam kartografi. Skala sentiasa ditunjukkan sebagai pecahan semula jadi: 1/50000, 1/1000000. Daripada tanda "/", tanda bertindih ":" sering ditulis, tetapi ia bermaksud pembahagian, bukan penghitungan.
Dalam geografi. Contohnya, menurut buku teks, Eurasia menduduki kira-kira 1/3 daripada daratan, dan Lautan Pasifik - 1/2 daripada lautan dunia.
Dalam perubatan. Apabila memberi preskripsi ubat, doktor jarang menyatakan jumlahnya dalam gram dan menggunakan sistem pecahan yang lebih mudah untuk ukuran: 1/3 botol, 1/2 tablet.

Pecahan biasa digunakan walaupun dalam pertandingan sukan: semua orang tahu ungkapan seperti "suku daripada perlawanan akhir" atau "separuh daripada perlawanan akhir". Walaupun fakta bahawa pecahan perpuluhan digunakan secara meluas dalam peranti pengkomputeran elektronik, pecahan biasa tidak kehilangan kaitannya. Dan dalam sains tepat, adalah mustahil untuk dilakukan tanpanya, kerana sebahagian besar formula, satu cara atau yang lain, mengandungi ungkapan seperti a / b.

Seperti perpuluhan, pecahan meminjamkan diri kepada operasi asas matematik. Penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian, peningkatan kepada kuasa, pengekstrakan akar - operasi ini boleh dilakukan dengan sebarang ungkapan yang diwakili sebagai a / b, di mana b tidak sama dengan sifar. Selain itu, perpuluhan sentiasa boleh diwakili sebagai pecahan biasa dan pecahan biasa hampir selalu boleh ditukar kepada perpuluhan.

Aritmetik dengan pecahan

Membandingkan pecahan

Operasi asas yang mendahului penambahan dan penolakan ialah perbandingan dua pecahan sepunya. Dalam kes ungkapan 1/3 dan 2/3, jawapannya adalah jelas: yang pertama adalah 2 kali lebih besar daripada yang kedua, tetapi bagaimana untuk membandingkan apabila penyebut nombor berbeza? Dalam kes ini, operasi yang dikenali sebagai pengurangan kepada penyebut biasa dilakukan.

Jika kita mengambil pecahan 1/4 dan 3/7, penyebut sepunya mereka ialah nombor 4 ⋅ 7, atau 28. Oleh itu, kita darab silang 1 ⋅ 7 dan 3 ⋅ 4 dan dapatkan pengangka 7 dan 12 dengan penyebut yang sama 28. Jadi yang pertama kurang daripada yang kedua: 7/28 < 12/28, dan 1/4 < 3/7. Dan nisbahnya ialah 7/12.

Tambahan dan penolakan

Untuk menambah dua pecahan biasa, pecahan itu juga perlu dikurangkan kepada penyebut biasa, dan kemudian menambah dividen pertama kepada yang kedua, meninggalkan pembahagi tidak berubah. Sebagai contoh, jika anda menambah pecahan 1/3 dan 2/4, kita dapat: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Mudahkan dan dapatkan: 5/6.

Penolakan berlaku mengikut algoritma yang serupa: pertama, penyebut biasa ditemui, dan kemudian yang kedua ditolak daripada pengangka pertama. Jika kita mengambil pecahan 3/4 dan 1/5, kita dapat: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Pendaraban dan pembahagian

Untuk mendarab pecahan, pengurangan kepada penyebut biasa tidak diperlukan, dividen dan pembahagi hanya didarab bersama. Secara umum, formula kelihatan seperti ini: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Sebagai contoh, ambil pecahan 5/6 dan 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Jika pecahan biasa didarab dengan nombor asli, maka hanya pengangka yang terlibat dalam operasi. Iaitu: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Pembahagian pecahan biasa dijalankan mengikut skema terbalik. Jadi, untuk membahagi pecahan a/b dengan pecahan c/d, anda perlu mendarab a/b dengan d/c. Menggantikan nombor asli dan bukannya pembolehubah, kita dapat: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, atau 1 (5/6), di mana bakinya ditunjukkan dalam kurungan. Syarat utama ialah penyebut pecahan pertama dan pengangka kedua tidak boleh sama dengan sifar, kerana pembahagian dengan 0 adalah mustahil.

Pengeksponenan dan pengekstrakan akar

Operasi ini dalam kes pecahan biasa adalah yang paling mudah, kerana ia tidak memerlukan mencari penyebut sepunya atau pecahan terbalik. Formula am untuk eksponen ialah: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Menggantikan nombor dan bukannya pembolehubah, kita dapat: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Pengekstrakan akar dilakukan secara serupa, mengikut formula: √(a/b) = √a/√b. Jika kita menggantikan 9 untuk a dan 16 untuk b, kita dapat: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Prasyarat untuk identiti ialah penyebut selain sifar (b ≠ 0): kedua-dua untuk formula eksponen dan untuk formula pengekstrakan akar.

Menukar perpuluhan kepada pecahan biasa dan pecahan biasa kepada perpuluhan

Mana-mana pecahan perpuluhan boleh diwakili sebagai pecahan biasa. Untuk melakukan ini, anda perlu mewakili bahagian pecahannya sebagai nombor asli dan membahagikannya dengan kuasa 10 yang sesuai. Sebagai contoh, pecahan 0.234 dan 0.65 boleh diwakili sebagai 234/1000 dan 65/100, masing-masing. Lebih-lebih lagi, dalam kedua-dua kes mereka akan berbunyi sama: dua ratus tiga puluh empat perseribu dan enam puluh lima perseratus. Anda juga boleh menukar nombor bulat dengan baki pecahan. Contohnya, 72.86 diwakili sebagai 72 (86/100), dengan 72 ialah bahagian integer dan 86/100 ialah bahagian pecahan.

Malangnya, penukaran terbalik - daripada pecahan biasa kepada perpuluhan - bukan sahaja lebih sukar, tetapi juga tidak selalu mungkin. Sekurang-kurangnya - jika anda memerlukan nombor yang cantik dengan bilangan tempat perpuluhan yang kecil. Operasi mudah hanya jika penyebutnya ialah gandaan 10. Contohnya, pecahan 4/100 boleh ditukar dengan mudah menjadi 0.04, dan 345/1000 menjadi 0.345. Tetapi bagaimana untuk menukar jika garis pemisah ialah nombor 7, 11, 14 dan seterusnya?

Sebagai contoh, mari kita ambil pecahan 19/44. Untuk mewakilinya dalam bentuk perpuluhan, anda perlu membahagikan 19 dengan 44 dalam lajur, meletakkan koma selepas 19 dan menambah sifar padanya di sebelah kanan sehingga susunan (ketepatan) pengiraan yang dikehendaki dicapai. Pengiraan akan membawa kepada fakta bahawa nombor itu akan menjadi 0.43181818 ... (18 dalam tempoh). Kami menulis nombor sebagai 0.43 (18) - pecahan perpuluhan berkala tak terhingga dan bulatkan jika perlu.

Anda boleh mengira nombor dua digit dan tiga digit dengan cepat dalam lajur, tetapi apabila bilangan aksara melebihi 4-5, prosedur mengambil banyak masa dan usaha mental. Oleh itu, hari ini, untuk menukar pecahan biasa kepada perpuluhan (dan sebaliknya), kalkulator dalam talian khas digunakan, di mana ia cukup untuk memasukkan nilai yang diketahui dan mendapatkan hasil yang betul serta-merta.

Penukar pecahan kepada perpuluhan