😍 Kalkulator for brøk

Sammen med desimalbrøker, hvis nevnere bare kan være multipler av ti, er vanlige brøker mye brukt i matematikk og relaterte vitenskaper. Det skrives som a/b, der a er telleren og b er nevneren. Det første kan være lik et hvilket som helst tall, og det andre kan være et hvilket som helst tall bortsett fra null.

Konseptet med en brøk

En brøk er et uttrykk representert som utbytte/teller og divisor/nevner. Den horisontale/skrå linjen som skiller dem kalles vinculum/solidus, og kan skrives med små bokstaver: a/b. Avhengig av det modulære forholdet mellom utbytte og divisor, er det vanlige og uekte vanlige brøker. I den første er tellermodulen større enn nevnermodulen, og i den andre omvendt.

Følgelig, hvis du deler et større tall med et mindre, vil du uunngåelig få et rasjonelt tall - større enn ett. Eksempler på slike uekte fraksjoner er 6/5, 8/7, 11/3 og så videre. Reduksjon i dem er umulig, og de er registrert i sin opprinnelige form. Om nødvendig kan de beregnes ved å få et heltall og en brøkdel: i resten eller som en desimalbrøk.

Det finnes også blandede og sammensatte fraksjoner. Det første er skrevet som et ikke-negativt heltall og en egenbrøk, og det andre er skrevet som et uttrykk som inneholder flere skråstreker/horisontale linjer.

Brøkhistorikk

Den engelske navnebrøken kommer fra det latinske fractura, men vanlige brøker ble oppfunnet lenge før dannelsen av Romerriket. Så splittingen av tall ble brukt av de gamle egypterne - for omtrent 4000 år siden. Dette indikeres av slike arkeologiske funn som Rinda matematiske papyrus, Akhmim tretavlen og den egyptiske matematiske lærrullen datert fra det 20. til det 17. århundre f.Kr.

Andre studier tyder på at talldeling også ble gjort i det gamle Babylon for mer enn 3000 år siden. Det var babylonerne som innførte inndelingen av en grad i 60 minutter og minutter i 60 sekunder. Tallet 60, i tillegg til seg selv og én, er delelig med 10 flere tall uten en rest: fra 2 til 30. Følgelig ble ikke desimal, men seksagesimale brøker brukt i Babylon.

Systemet med sexagesimale fraksjoner migrerte gradvis fra gammel babylonsk til gammelgresk matematikk, og det er pålitelig kjent at det ble brukt allerede i det 1. århundre e.Kr.: de gamle greske forskerne Diophantus av Alexandria og Heron av Alexandria. De skrev brøker i "alfabetisk" form og i "omvendt" form. Det vil si at telleren var nederst, og nevneren var øverst (uten skillelinje). På grunn av det faktum at de gamle grekerne forsto tallet som et sett med enheter, brukte de sjelden vanlige brøker i aritmetikk, men noen ganger brukte de dem for å betegne inkommensurable størrelser.

Lignende studier ble utført i det gamle Kina: fra det 10. til det 2. århundre f.Kr. Opprinnelig brukte kineserne bare vanlige brøker, og desimaler ble introdusert først i det 3. århundre e.Kr. - etter oppfinnelsen av suanpan (算盤) tellebrett. De gamle hinduene ga også et betydelig bidrag til matematikken. Det er de som eier den moderne formen for en vanlig brøk - telleren og nevneren, atskilt med en horisontal linje. Europeere begynte å bruke dette systemet mye senere - bare i XII-XVI århundrer, og lånte det fra araberne, som på sin side lærte denne kunnskapen fra indianerne.

Den første europeiske tenkeren som brukte vanlige brøker (i den formen de eksisterer i nå) var Leonardo av Pisa, bedre kjent under kallenavnet Fibonacci. I 1350 begynte desimalbrøker å bli brukt i Europa i beregninger - takket være den franske forskeren Immanuel Bonfils, og fra 1585 ble de de viktigste, og erstattet det utdaterte sexagesimalsystemet.

Praktisk bruk av brøker

I dag brukes vanlige brøker overalt: fra de eksakte vitenskapene (for å skrive formler) til hverdagen. For eksempel:

I kartografi. Skalaen er alltid angitt som en naturlig brøk: 1/50000, 1/1000000. I stedet for "/"-tegnet skrives ofte et kolon ":", men det betyr divisjon, ikke oppregning.
I geografi. For eksempel, ifølge lærebøker, okkuperer Eurasia omtrent 1/3 av landet, og Stillehavet - 1/2 av verdenshavene.
I medisin. Ved forskrivning av legemidler angir leger sjelden mengden i gram, og bruker et mer praktisk delt målsystem: 1/3 flaske, 1/2 tablett.

Vanlige brøker brukes selv i idrettskonkurranser: alle kjenner slike uttrykk som "kvart av finalen" eller "halvparten av finalen". Til tross for at desimalbrøker er mye brukt i elektroniske dataenheter, har den vanlige brøken ikke mistet sin relevans. Og i de eksakte vitenskapene er det rett og slett umulig å klare seg uten det, siden en betydelig del av formlene, på en eller annen måte, inneholder uttrykk som a / b.

I likhet med desimaler egner brøker seg til grunnleggende matematiske operasjoner. Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, heving til en potens, trekke ut røtter - disse operasjonene kan utføres med alle uttrykk representert som a / b, der b ikke er lik null. I tillegg kan en desimal alltid representeres som en vanlig brøk, og en vanlig brøk kan nesten alltid konverteres til en desimal.

Aritmetikk med brøker

Sammenligning av brøker

Den grunnleggende operasjonen som går foran addisjon og subtraksjon er sammenligningen av to vanlige brøker. Når det gjelder uttrykkene 1/3 og 2/3, er svaret åpenbart: den første er 2 ganger større enn den andre, men hvordan sammenlignes når nevnerne til tallene er forskjellige? I dette tilfellet utføres en operasjon kjent som reduksjon til en fellesnevner.

Hvis vi tar brøkene 1/4 og 3/7, vil fellesnevneren deres være tallet 4 ⋅ 7, eller 28. Følgelig kryssmultipiserer vi 1 ⋅ 7 og 3 ⋅ 4 og får tellerne 7 og 12 med samme nevner 28. Så den første mindre enn den andre: 7/28 < 12/28, og 1/4 < 3/7. Og forholdet deres er 7/12.

Addisjon og subtraksjon

For å legge til to vanlige brøker, må de også reduseres til en fellesnevner, og deretter legge til det første utbyttet til det andre, slik at divisoren forblir uendret. Hvis du for eksempel legger til brøkene 1/3 og 2/4, får vi: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Forenkle og få: 5/6.

Subtraksjon skjer i henhold til en lignende algoritme: først blir en fellesnevner funnet, og deretter trekkes den andre fra den første telleren. Hvis vi tar brøkene 3/4 og 1/5, får vi: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Multiplikasjon og divisjon

For å multiplisere brøker er det ikke nødvendig med reduksjon til en fellesnevner, utbytte og divisorer multipliseres ganske enkelt sammen. Generelt ser formelen slik ut: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Ta for eksempel brøkene 5/6 og 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Hvis en vanlig brøk multipliseres med et naturlig tall, er det bare telleren som er involvert i operasjonen. Det vil si: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Delingen av vanlige brøker utføres etter omvendt skjema. Så for å dele brøken a/b med brøken c/d, må du multiplisere a/b med d/c. Ved å erstatte naturlige tall i stedet for variabler får vi: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, eller 1 (5/6), hvor resten er angitt i parentes. Hovedbetingelsen er at nevneren til den første brøken og telleren til den andre ikke må være lik null, siden deling med 0 er umulig.

Eksponentiering og rotutvinning

Disse operasjonene i tilfellet med vanlige brøker er de enkleste, siden de ikke krever å finne en fellesnevner eller reversere brøker. Den generelle formelen for eksponentiering er: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Ved å erstatte tall i stedet for variabler får vi: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Uttrekkingen av roten utføres på samme måte, i henhold til formelen: √(a/b) = √a/√b. Hvis vi erstatter 9 med a og 16 for b, får vi: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. En forutsetning for identiteter er en annen nevner enn null (b ≠ 0): både for eksponentieringsformelen og for rotekstraksjonsformelen.

Konvertering av desimaler til vanlige brøker og vanlige brøker til desimaler

Enhver desimalbrøk kan representeres som en vanlig brøk. For å gjøre dette, må du representere brøkdelen som et naturlig tall og dele den med den passende potensen 10. For eksempel kan brøkene 0,234 og 0,65 representeres som henholdsvis 234/1000 og 65/100. Dessuten vil de i begge tilfeller høres likt ut: to hundre og trettifire tusendeler og sekstifem hundredeler. Du kan også konvertere hele tall med brøkrester. For eksempel er 72,86 representert som 72 (86/100), der 72 er heltallsdelen og 86/100 er brøkdelen.

Dessverre er omvendt konvertering - fra en vanlig brøk til en desimal - ikke bare vanskeligere, men heller ikke alltid mulig. I hvert fall - hvis du trenger et vakkert tall med et lite antall desimaler. En enkel operasjon er bare hvis nevneren er et multiplum av 10. For eksempel kan brøken 4/100 enkelt gjøres om til 0,04, og 345/1000 til 0,345. Men hvordan konvertere hvis skillelinjen er tallet 7, 11, 14 og så videre?

La oss for eksempel ta brøken 19/44. For å representere det i desimalform, må du dele 19 med 44 i en kolonne, sette et komma etter 19 og legge til nuller til det til høyre til ønsket rekkefølge (nøyaktighet) av beregningen er nådd. Regnestykket vil føre til at tallet blir 0,43181818 ... (18 i perioden). Vi skriver tallet som 0,43 (18) - en uendelig periodisk desimalbrøk og runder det om nødvendig.

Du kan raskt telle tosifrede og tresifrede tall i en kolonne, men når antallet tegn overstiger 4-5, tar prosedyren mye tid og mental innsats. Derfor, i dag, for å konvertere vanlige brøker til desimaler (og omvendt), brukes spesielle online kalkulatorer, der det er nok å angi kjente verdier umiddelbart for å få riktig resultat.

Brøk til desimal-konvertering