😍 Calculator de fracții

$Convertor de fracții în zecimale$

Alături de fracțiile zecimale, ai căror numitori pot fi doar multipli de zece, fracțiile obișnuite sunt utilizate pe scară largă în matematică și științe conexe. Se scrie ca a/b, unde a este numărătorul și b este numitorul. Primul poate fi egal cu orice număr, iar al doilea poate fi orice număr, cu excepția zero.

Conceptul de fracție

O fracție este o expresie reprezentată ca dividend/numărător și divizor/numitor. Linia orizontală/înclinată care le separă se numește vinculum/solidus și poate fi scrisă cu minuscule: a/b. În funcție de relația modulară dintre dividend și divizor, există fracții ordinare regulate și improprii. În primul, modulul numărătorului este mai mare decât modulul numitorului, iar în al doilea, invers.

În consecință, dacă împărțiți un număr mai mare la unul mai mic, veți obține inevitabil un număr rațional - mai mare decât unu. Exemple de astfel de fracții improprii sunt 6/5, 8/7, 11/3 și așa mai departe. Reducerea acestora este imposibilă și sunt înregistrate în forma lor originală. Dacă este necesar, ele pot fi calculate obținând un număr întreg și o parte fracțională: în rest sau ca fracție zecimală.

Există și fracții mixte și compuse. Primul este scris ca un întreg nenegativ și o fracție proprie, iar al doilea este scris ca o expresie care conține mai multe bare oblice/linii orizontale.

Istoricul fracțiilor

Numele englezesc fracție provine din latinescul fractura, dar fracțiile obișnuite au fost inventate cu mult înainte de formarea Imperiului Roman. Deci, împărțirea numerelor a fost folosită de egiptenii antici - acum aproximativ 4000 de ani. Acest lucru este indicat de descoperiri arheologice precum papirusul matematic Rinda, tăblița de lemn Akhmim și sulul egiptean din piele, datată din secolele XX-XVII î.Hr.

Alte studii indică faptul că împărțirea numerelor a fost făcută și în Babilonul antic, cu peste 3.000 de ani în urmă. Babilonienii au fost cei care au introdus împărțirea unui grad în 60 de minute și a minutelor în 60 de secunde. Numărul 60, pe lângă el însuși și unul, este divizibil cu încă 10 numere fără rest: de la 2 la 30. În consecință, în Babilon au fost folosite fracții nu zecimale, ci sexagesimale.

Sistemul fracțiilor sexagesimale a migrat treptat de la matematica antică babiloniană la cea greacă veche și se știe cu încredere că a fost folosit deja în secolul I d.Hr.: oamenii de știință greci antici Diophantus din Alexandria și Heron din Alexandria. Ei au scris fracțiile în formă „alfabetică” și în formă „inversată”. Adică, numărătorul era în partea de jos, iar numitorul era în partea de sus (fără o linie de despărțire). Datorită faptului că grecii antici au înțeles numărul ca un set de unități, rareori au folosit fracții obișnuite în aritmetică, dar uneori le-au folosit pentru a desemna cantități incomensurabile.

Studii similare au fost efectuate în China antică: din secolele al X-lea până în secolele al II-lea î.Hr. Inițial, chinezii foloseau doar fracții obișnuite, iar zecimalele au fost introduse abia în secolul al III-lea d.Hr. - după inventarea tablei de numărare suanpan (算盤). Vechii hinduși au adus și ei o contribuție semnificativă la matematică. Ei sunt cei care dețin forma modernă a unei fracții obișnuite - numărătorul și numitorul, separate printr-o linie orizontală. Europenii au început să folosească acest sistem mult mai târziu - abia în secolele XII-XVI, împrumutându-l de la arabi, care, la rândul lor, au învățat aceste cunoștințe de la indieni.

Primul gânditor european care a folosit fracțiile obișnuite (în forma în care există acum) a fost Leonardo din Pisa, mai cunoscut sub porecla lui Fibonacci. În 1350, fracțiile zecimale au început să fie folosite în calcule în Europa - datorită omului de știință francez Immanuel Bonfils, iar din 1585 au devenit principalele, înlocuind sistemul sexagesimal învechit.

Utilizarea practică a fracțiilor

Astăzi, fracțiile obișnuite sunt folosite peste tot: de la științele exacte (pentru scrierea formulelor) până la viața de zi cu zi. De exemplu:

În cartografie. Scara este întotdeauna indicată ca fracție naturală: 1/50000, 1/1000000. În loc de semnul „/”, se scrie adesea două puncte „:”, dar înseamnă împărțire, nu enumerare.
În geografie. De exemplu, conform manualelor, Eurasia ocupă aproximativ 1/3 din pământ, iar Oceanul Pacific - 1/2 din oceanele lumii.
În medicină. Când prescriu medicamente, medicii indică rareori cantitatea lor în grame și folosesc un sistem de măsuri fracționate mai convenabil: 1/3 flacon, 1/2 comprimat.

Fracțiile obișnuite sunt folosite chiar și în competițiile sportive: toată lumea cunoaște expresii precum „un sfert de finală” sau „o jumătate de finală”. În ciuda faptului că fracțiile zecimale sunt utilizate pe scară largă în dispozitivele electronice de calcul, fracția comună nu și-a pierdut relevanța. Și în științele exacte, este pur și simplu imposibil să faci fără ea, deoarece o parte semnificativă a formulelor, într-un fel sau altul, conține expresii precum a / b.

$Convertor de zecimale în fracții$

Ca și zecimalele, fracțiile se pretează la operații matematice de bază. Adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la o putere, extragerea rădăcinilor - aceste operații pot fi efectuate cu orice expresii reprezentate ca a / b, unde b nu este egal cu zero. În plus, o zecimală poate fi întotdeauna reprezentată ca o fracție comună, iar o fracție comună poate fi aproape întotdeauna convertită într-o zecimală.

Aritmetică cu fracții

Compararea fracțiilor

Operația de bază care precede adunarea și scăderea este compararea a două fracții comune. În cazul expresiilor 1/3 și 2/3, răspunsul este evident: primul este de 2 ori mai mare decât al doilea, dar cum se compară atunci când numitorii numerelor diferă? În acest caz, se efectuează o operație cunoscută sub numele de reducere la un numitor comun.

Dacă luăm fracțiile 1/4 și 3/7, numitorul lor comun va fi numărul 4 ⋅ 7 sau 28. Prin urmare, înmulțim încrucișat 1 ⋅ 7 și 3 ⋅ 4 și obținem numărătorii 7 și 12 cu același numitor 28. Deci primul mai mic decât al doilea: 7/28 < 12/28, și 1/4 < 3/7. Iar raportul lor este de 7/12.

Adunarea și scăderea

Pentru a adăuga două fracții obișnuite, acestea trebuie, de asemenea, reduse la un numitor comun și apoi adăugați primul dividend la al doilea, lăsând divizorul neschimbat. De exemplu, dacă adunăm fracțiile 1/3 și 2/4, obținem: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Simplificați și obțineți: 5/6.

Scăderea are loc conform unui algoritm similar: mai întâi se găsește un numitor comun, iar apoi se scade al doilea din primul numărător. Dacă luăm fracțiile 3/4 și 1/5, obținem: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Înmulțirea și împărțirea

Pentru a înmulți fracții, nu este necesară reducerea la un numitor comun, dividendele și divizorii sunt pur și simplu înmulțiți împreună. În general, formula arată astfel: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). De exemplu, luați fracțiile 5/6 și 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Dacă o fracție obișnuită este înmulțită cu un număr natural, atunci numai numărătorul este implicat în operație. Adică: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Diviziunea fracțiilor obișnuite se realizează conform schemei inverse. Deci, pentru a împărți fracția a/b la fracția c/d, trebuie să înmulțiți a/b cu d/c. Înlocuind numerele naturale în loc de variabile, obținem: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, sau 1 (5/6), unde restul este indicat între paranteze. Condiția principală este ca numitorul primei fracții și numărătorul celei de-a doua să nu fie egal cu zero, deoarece împărțirea cu 0 este imposibilă.

Exponentiație și extragerea rădăcinilor

Aceste operații în cazul fracțiilor obișnuite sunt cele mai simple, deoarece nu necesită găsirea unui numitor comun sau inversarea fracțiilor. Formula generală de exponențiere este: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Înlocuind numerele în loc de variabile, obținem: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Extracția rădăcinii se realizează în mod similar, după formula: √(a/b) = √a/√b. Dacă înlocuim 9 cu a și 16 cu b, obținem: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. O condiție prealabilă pentru identități este un alt numitor decât zero (b ≠ 0): atât pentru formula de exponențiere, cât și pentru formula de extracție a rădăcinii.

Conversia zecimale în fracții comune și fracții comune în zecimale

Orice fracție zecimală poate fi reprezentată ca o fracție comună. Pentru a face acest lucru, trebuie să reprezentați partea sa fracționară ca număr natural și să o împărțiți la puterea corespunzătoare a lui 10. De exemplu, fracțiile 0,234 și 0,65 pot fi reprezentate ca 234/1000 și, respectiv, 65/100. Mai mult, în ambele cazuri vor suna la fel: două sute treizeci și patru de miimi și șaizeci și cinci de sutimi. De asemenea, puteți converti numere întregi cu resturi fracționale. De exemplu, 72,86 este reprezentat ca 72 (86/100), unde 72 este partea întreagă și 86/100 este partea fracțională.

Din păcate, conversia inversă - de la o fracție obișnuită la o zecimală - nu este doar mai dificilă, dar nu este întotdeauna posibilă. Cel puțin - dacă aveți nevoie de un număr frumos cu un număr mic de zecimale. O operație simplă este doar dacă numitorul este un multiplu al lui 10. De exemplu, fracția 4/100 poate fi ușor transformată în 0,04, iar 345/1000 în 0,345. Dar cum se convertește dacă linia de separare este numărul 7, 11, 14 și așa mai departe?

De exemplu, să luăm fracția 19/44. Pentru a-l reprezenta sub formă zecimală, trebuie să împărțiți 19 la 44 într-o coloană, punând o virgulă după 19 și adăugând zerouri în partea dreaptă până când se ajunge la ordinea dorită (acuratețea) de calcul. Calculul va duce la faptul că numărul va fi 0,43181818 ... (18 în perioada). Scriem numărul ca 0,43 (18) - o fracție zecimală periodică infinită și o rotunjim dacă este necesar.

Puteți număra rapid numere de două și trei cifre într-o coloană, dar când numărul de caractere depășește 4-5, procedura necesită mult timp și efort mental. Prin urmare, astăzi, pentru a converti fracțiile obișnuite în zecimale (și invers), se folosesc calculatoare online speciale, unde este suficient să introduceți valori cunoscute și să obțineți instantaneu rezultatul corect.