😍 Kalkulačka zlomkov

Popri desatinných zlomkoch, ktorých menovateľom môžu byť iba násobky desiatich, sa bežné zlomky bežne používajú v matematike a príbuzných vedách. Zapisuje sa ako a/b, kde a je čitateľ a b menovateľ. Prvé sa môže rovnať ľubovoľnému číslu a druhé môže byť ľubovoľné číslo okrem nuly.

Koncept zlomku

Zlomok je výraz reprezentovaný ako deliteľ/čitateľ a deliteľ/menovateľ. Horizontálna/šikmá čiara, ktorá ich oddeľuje, sa nazýva vinculum/solidus a možno ju písať malými písmenami: a/b. V závislosti od modulárneho vzťahu medzi dividendou a deliteľom existujú pravidelné a nevlastné obyčajné zlomky. V prvom je modul čitateľa väčší ako modul menovateľa a v druhom je to naopak.

Podľa toho, ak vydelíte väčšie číslo menším, nevyhnutne dostanete racionálne číslo – väčšie ako jedna. Príklady takýchto nesprávnych zlomkov sú 6/5, 8/7, 11/3 atď. Redukcia v nich nie je možná a sú zaznamenané v pôvodnej podobe. V prípade potreby ich možno vypočítať získaním celého čísla a zlomkovej časti: ako zvyšok alebo ako desatinný zlomok.

Existujú aj zmiešané a zložené frakcie. Prvý sa zapíše ako nezáporné celé číslo a správny zlomok a druhý sa zapíše ako výraz obsahujúci niekoľko lomiek/horizontálnych čiar.

História zlomkov

Anglický názov zlomok pochádza z latinského fractura, ale obyčajné zlomky boli vynájdené dávno pred vznikom Rímskej ríše. Takže delenie čísel používali starí Egypťania - asi pred 4000 rokmi. Nasvedčujú tomu archeologické nálezy ako matematický papyrus Rinda, drevená tabuľka Akhmim a egyptský matematický kožený zvitok z 20. až 17. storočia pred Kristom.

Iné štúdie naznačujú, že k rozdeleniu čísel došlo aj v starovekom Babylone, pred viac ako 3 000 rokmi. Boli to Babylončania, ktorí zaviedli delenie stupňa na 60 minút a minúty na 60 sekúnd. Číslo 60, okrem seba a jednotky, je deliteľné 10 ďalšími číslami bez zvyšku: od 2 do 30. Preto sa v Babylone nepoužívali desatinné, ale šesťdesiatkové zlomky.

Systém šesťdesiatkových zlomkov postupne migroval zo starobabylonskej do starogréckej matematiky a je spoľahlivo známe, že ho používali už v 1. storočí nášho letopočtu: starogrécki vedci Diophantus Alexandrijský a Herón Alexandrijský. Zlomky písali v „abecednej“ forme a v „prevrátenej“ forme. To znamená, že čitateľ bol dole a menovateľ bol hore (bez deliacej čiary). Vzhľadom na to, že starí Gréci chápali číslo ako súbor jednotiek, obyčajné zlomky v aritmetike používali len zriedka, no niekedy ich používali na označenie nesúmerateľných veličín.

Podobné štúdie sa uskutočnili v starovekej Číne: od 10. do 2. storočia pred Kristom. Spočiatku Číňania používali iba obyčajné zlomky a desatinné čísla boli zavedené až v 3. storočí nášho letopočtu – po vynájdení počítacej dosky suanpan (算盤). Starovekí hinduisti významne prispeli aj k matematike. Práve oni vlastnia modernú podobu obyčajného zlomku – čitateľa a menovateľa, oddelených vodorovnou čiarou. Európania začali tento systém používať oveľa neskôr – až v XII-XVI storočí, pričom si ho požičali od Arabov, ktorí sa naopak naučili tieto znalosti od Indov.

Prvým európskym mysliteľom, ktorý používal obyčajné zlomky (v podobe, v akej existujú teraz), bol Leonardo z Pisy, známy pod prezývkou Fibonacci. V roku 1350 sa v Európe začali pri výpočtoch používať desatinné zlomky – vďaka francúzskemu vedcovi Immanuelovi Bonfilsovi a od roku 1585 sa stali hlavnými, ktoré nahradili zastaraný šesťdesiatkový systém.

Praktické využitie zlomkov

Dnes sa bežné zlomky používajú všade: od exaktných vied (na písanie vzorcov) až po každodenný život. Napríklad:

V kartografii. Mierka sa vždy uvádza ako prirodzený zlomok: 1/50000, 1/1000000. Namiesto znamienka „/“ sa často píše dvojbodka „:“, ktorá však znamená delenie, nie enumeráciu.
V geografii. Napríklad podľa učebníc zaberá Eurázia asi 1/3 pevniny a Tichý oceán 1/2 svetových oceánov.
V medicíne. Lekári pri predpisovaní liekov len zriedka uvádzajú ich množstvo v gramoch a používajú pohodlnejší zlomkový systém mier: 1/3 fľaše, 1/2 tablety.

Obyčajné zlomky sa používajú aj v športových súťažiach: každý pozná výrazy ako „štvrtina finále“ alebo „polovica finále“. Napriek skutočnosti, že desatinné zlomky sú široko používané v elektronických výpočtových zariadeniach, spoločný zlomok nestratil svoj význam. A v exaktných vedách je to jednoducho nemožné bez toho, pretože významná časť vzorcov, tak či onak, obsahuje výrazy ako a / b.

Podobne ako desatinné miesta, aj zlomky sa hodia na základné matematické operácie. Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, zvýšenie na mocninu, odmocnenie - tieto operácie je možné vykonávať s ľubovoľnými výrazmi reprezentovanými ako a / b, kde b sa nerovná nule. Okrem toho môže byť desatinné miesto vždy reprezentované ako bežný zlomok a bežný zlomok môže byť takmer vždy prevedený na desatinné číslo.

Aritmetika so zlomkami

Porovnávanie zlomkov

Základnou operáciou, ktorá predchádza sčítanie a odčítanie, je porovnanie dvoch bežných zlomkov. V prípade výrazov 1/3 a 2/3 je odpoveď zrejmá: prvý je 2-krát väčší ako druhý, ale ako porovnať, keď sa menovatelia čísel líšia? V tomto prípade sa vykoná operácia známa ako redukcia na spoločného menovateľa.

Ak vezmeme zlomky 1/4 a 3/7, ich spoločným menovateľom bude číslo 4 ⋅ 7 alebo 28. Podľa toho krížovo vynásobíme 1 ⋅ 7 a 3 ⋅ 4 a dostaneme čitateľa 7 a 12 s rovnakým menovateľom 28. Takže prvý menší ako druhý: 7/28 < 12/28 a 1/4 < 3/7. A ich pomer je 7/12.

Sčítanie a odčítanie

Ak chcete pridať dva bežné zlomky, musíte ich tiež zredukovať na spoločného menovateľa a potom pripočítať prvý delenec k druhému, pričom deliteľ zostane nezmenený. Napríklad, ak spočítate zlomky 1/3 a 2/4, dostaneme: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Zjednodušte a získajte: 5/6.

Odčítanie prebieha podľa podobného algoritmu: najprv sa nájde spoločný menovateľ a potom sa druhý odčíta od prvého čitateľa. Ak vezmeme zlomky 3/4 a 1/5, dostaneme: 3/4 – 1/5 = 15/20 – 4/20 = 11/20.

Násobenie a delenie

Na násobenie zlomkov sa nevyžaduje redukcia na spoločného menovateľa, dividendy a deliteľ sa jednoducho vynásobia. Vo všeobecnosti vzorec vyzerá takto: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Vezmime si napríklad zlomky 5/6 a 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Ak sa obyčajný zlomok vynásobí prirodzeným číslom, do operácie sa zapojí iba čitateľ. To znamená: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Rozdelenie obyčajných zlomkov sa vykonáva podľa obrátenej schémy. Ak teda chcete rozdeliť zlomok a/b zlomkom c/d, musíte a/b vynásobiť d/c. Dosadením prirodzených čísel namiesto premenných dostaneme: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, alebo 1 (5/6), pričom zvyšok je uvedený v zátvorkách. Hlavnou podmienkou je, že menovateľ prvého zlomku a čitateľ druhého sa nesmú rovnať nule, pretože delenie nulou nie je možné.

Umocnenie a extrakcia koreňov

Tieto operácie v prípade obyčajných zlomkov sú najjednoduchšie, pretože nevyžadujú hľadanie spoločného menovateľa ani obracanie zlomkov. Všeobecný vzorec pre umocnenie je: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Nahradením čísel namiesto premenných dostaneme: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Extrakcia koreňa sa vykonáva podobne, podľa vzorca: √(a/b) = √a/√b. Ak dosadíme 9 za a a 16 za b, dostaneme: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Nevyhnutným predpokladom identít je iný menovateľ ako nula (b ≠ 0): pre vzorec umocnenia aj vzorec pre extrakciu koreňov.

Konverzia desatinných miest na bežné zlomky a bežných zlomkov na desatinné miesta

Akýkoľvek desatinný zlomok môže byť vyjadrený ako bežný zlomok. Aby ste to dosiahli, musíte reprezentovať jeho zlomkovú časť ako prirodzené číslo a vydeliť ho príslušnou mocninou 10. Napríklad zlomky 0,234 a 0,65 môžu byť vyjadrené ako 234/1000 a 65/100. Navyše v oboch prípadoch budú znieť rovnako: dvestotridsaťštyri tisícin a šesťdesiatpäť stotín. Môžete tiež previesť celé čísla so zlomkovými zvyškami. Napríklad 72,86 je reprezentované ako 72 (86/100), kde 72 je celá časť a 86/100 je zlomková časť.

Bohužiaľ, spätný prevod – z bežného zlomku na desatinné miesto – je nielen náročnejší, ale nie vždy možný. Aspoň - ak potrebujete krásne číslo s malým počtom desatinných miest. Jednoduchá operácia je len vtedy, ak je menovateľ násobkom 10. Napríklad zlomok 4/100 možno ľahko zmeniť na 0,04 a 345/1000 na 0,345. Ale ako previesť, ak je oddeľovacia čiara číslo 7, 11, 14 atď.?

Vezmime si napríklad zlomok 19/44. Na vyjadrenie v desiatkovej forme musíte v stĺpci vydeliť 19 číslom 44, pričom za číslom 19 vložíte čiarku a napravo k nej pridáte nuly, kým sa nedosiahne požadované poradie (presnosť) výpočtu. Výpočet povedie k tomu, že číslo bude 0,43181818 ... (18 v období). Číslo zapíšeme ako 0,43 (18) – nekonečný periodický desatinný zlomok a v prípade potreby ho zaokrúhlime.

Môžete rýchlo spočítať dvojciferné a trojciferné čísla v stĺpci, ale keď počet znakov presiahne 4 – 5, postup si vyžaduje veľa času a duševného úsilia. Preto sa dnes na prevod obyčajných zlomkov na desatinné miesta (a naopak) používajú špeciálne online kalkulačky, kde stačí zadať známe hodnoty a okamžite získať správny výsledok.

Prevod zlomku na desatinné číslo