😍 Kalkulator ulomkov

Poleg decimalnih ulomkov, katerih imenovalci so lahko samo večkratniki desetih, se navadni ulomki pogosto uporabljajo v matematiki in sorodnih vedah. Zapiše se kot a/b, kjer je a števec, b pa imenovalec. Prvo je lahko enako poljubnemu številu, drugo pa poljubno število razen nič.

Pojem ulomka

Ulomek je izraz, predstavljen kot dividenda/števec in delitelj/imenovalec. Vodoravna/poševna črta, ki ju ločuje, se imenuje vinculum/solidus in jo lahko zapišemo z malimi črkami: a/b. Glede na modularno razmerje med dividendo in deliteljem ločimo navadne in neprave navadne ulomke. Pri prvem je modul števca večji od modula imenovalca, pri drugem pa obratno.

V skladu s tem, če večje število delite z manjšim, boste neizogibno dobili racionalno število - večje od ena. Primeri takšnih nepravilnih ulomkov so 6/5, 8/7, 11/3 itd. Zmanjšanje v njih je nemogoče in so zapisane v izvirni obliki. Po potrebi jih lahko izračunamo tako, da dobimo celo število in ulomek: v ostanku ali kot decimalni ulomek.

Obstajajo tudi mešane in sestavljene frakcije. Prvo je zapisano kot nenegativno celo število in pravi ulomek, drugo pa kot izraz, ki vsebuje več poševnic/vodoravnih črt.

Zgodovina ulomkov

Angleško ime fraction izhaja iz latinskega fractura, navadne frakcije pa so izumili že dolgo pred nastankom rimskega imperija. Torej so delitev števil uporabljali stari Egipčani - pred približno 4000 leti. Na to kažejo arheološke najdbe, kot so matematični papirus Rinda, lesena tablica Akhmim in egipčanski matematični usnjeni zvitek iz 20. do 17. stoletja pred našim štetjem.

Druge študije kažejo, da so delitev števil izvajali tudi v starem Babilonu, pred več kot 3000 leti. Babilonci so uvedli delitev stopinje na 60 minut, minute pa na 60 sekund. Število 60 je poleg samega sebe in ene deljivo še z 10 števili brez ostanka: od 2 do 30. V skladu s tem v Babilonu niso uporabljali decimalnih, ampak šestdesetih ulomkov.

Sistem šestdesetih ulomkov je postopoma prešel iz stare babilonske v starogrško matematiko, zanesljivo pa je znano, da sta ga uporabljala že v 1. stoletju našega štetja: starogrška znanstvenika Diofant Aleksandrijski in Heron Aleksandrijski. Zapisali so ulomke v »abecedni« obliki in v »obrnjeni« obliki. To pomeni, da je bil števec na dnu, imenovalec pa na vrhu (brez ločnice). Ker so stari Grki število razumeli kot množico enot, so navadne ulomke v aritmetiki redko uporabljali, včasih pa so z njimi označevali nesorazmerne količine.

Podobne študije so bile izvedene v starodavni Kitajski: od 10. do 2. stoletja pr. Sprva so Kitajci uporabljali le navadne ulomke, decimalke pa so uvedli šele v 3. stoletju našega štetja – po izumu števne deske suanpan (算盤). Tudi stari hindujci so pomembno prispevali k matematiki. Prav oni imajo sodobno obliko navadnega ulomka - števec in imenovalec, ločena z vodoravno črto. Evropejci so ta sistem začeli uporabljati veliko pozneje - šele v XII-XVI stoletju, ko so si ga izposodili od Arabcev, ti pa so se tega znanja naučili od Indijcev.

Prvi evropski mislec, ki je uporabil navadne ulomke (v obliki, v kateri obstajajo zdaj), je bil Leonardo iz Pise, bolj znan pod vzdevkom Fibonacci. Leta 1350 so se v Evropi pri izračunih začeli uporabljati decimalni ulomki - zahvaljujoč francoskemu znanstveniku Immanuelu Bonfilsu, od leta 1585 pa so postali glavni in so nadomestili zastareli šestdesetinski sistem.

Praktična uporaba ulomkov

Danes se navadni ulomki uporabljajo povsod: od natančnih znanosti (za pisanje formul) do vsakdanjega življenja. Na primer:

V kartografiji. Merilo je vedno navedeno v naravnem ulomku: 1/50000, 1/1000000. Namesto znaka "/" se pogosto piše dvopičje ":", vendar pomeni deljenje, ne štetje.
V geografiji. Po učbenikih na primer Evrazija zavzema približno 1/3 kopnega, Tihi ocean pa 1/2 svetovnih oceanov.
V medicini. Pri predpisovanju zdravil zdravniki redko navedejo njihovo količino v gramih in uporabljajo bolj priročen delni sistem mer: 1/3 steklenice, 1/2 tablete.

Navadni ulomki se uporabljajo tudi na športnih tekmovanjih: vsi poznajo izraze, kot sta "četrtina finala" ali "polovica finala". Kljub dejstvu, da se decimalni ulomki pogosto uporabljajo v elektronskih računalniških napravah, navadni ulomek ni izgubil svojega pomena. In v natančnih znanostih brez tega preprosto ni mogoče, saj pomemben del formul tako ali drugače vsebuje izraze, kot je a / b.

Tako kot decimalke so tudi ulomki primerni za osnovne matematične operacije. Seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, dvigovanje na potenco, pridobivanje korenov - te operacije je mogoče izvesti s katerim koli izrazom, predstavljenim kot a / b, kjer b ni enak nič. Poleg tega je decimalko vedno mogoče predstaviti kot navadni ulomek, navadni ulomek pa je skoraj vedno mogoče pretvoriti v decimalko.

Aritmetika z ulomki

Primerjava ulomkov

Osnovna operacija pred seštevanjem in odštevanjem je primerjava dveh navadnih ulomkov. V primeru izrazov 1/3 in 2/3 je odgovor očiten: prvi je 2-krat večji od drugega, toda kako primerjati, ko se imenovalca števil razlikujeta? V tem primeru se izvede operacija, znana kot redukcija na skupni imenovalec.

Če vzamemo ulomka 1/4 in 3/7, bo njun skupni imenovalec število 4 ⋅ 7 ali 28. V skladu s tem navzkrižno pomnožimo 1 ⋅ 7 in 3 ⋅ 4 ter dobimo števca 7 in 12 z enakim imenovalcem 28. Torej je prvi manjši od drugega: 7/28 < 12/28 in 1/4 < 3/7. Njihovo razmerje je 7/12.

Seštevanje in odštevanje

Če želite sešteti dva navadna ulomka, ju je treba tudi zreducirati na skupni imenovalec in nato prvi delitelj prišteti drugemu, delitelj pa pustiti nespremenjen. Na primer, če seštejete ulomka 1/3 in 2/4, dobimo: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Poenostavite in dobite: 5/6.

Odštevanje poteka po podobnem algoritmu: najprej se najde skupni imenovalec, nato pa se od prvega števca odšteje drugi. Če vzamemo ulomka 3/4 in 1/5, dobimo: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Množenje in deljenje

Za množenje ulomkov redukcija na skupni imenovalec ni potrebna, dividende in delitelji se preprosto pomnožijo. Na splošno je formula videti takole: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Na primer, vzemite ulomka 5/6 in 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Če navaden ulomek pomnožimo z naravnim številom, potem pri operaciji sodeluje samo števec. To je: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Deljenje navadnih frakcij poteka po obratni shemi. Torej, če želite deliti ulomek a/b z ulomkom c/d, morate a/b pomnožiti z d/c. Če zamenjamo naravna števila namesto spremenljivk, dobimo: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, ali 1 (5/6), kjer je ostanek naveden v oklepaju. Glavni pogoj je, da imenovalec prvega ulomka in števec drugega ne smeta biti enaka nič, saj je deljenje z 0 nemogoče.

Potencevanje in ekstrakcija korena

Te operacije v primeru navadnih ulomkov so najenostavnejše, saj ne zahtevajo iskanja skupnega imenovalca ali obračanja ulomkov. Splošna formula za potenciranje je: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Če nadomestimo številke namesto spremenljivk, dobimo: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Izvleček korena se izvede podobno, po formuli: √(a/b) = √a/√b. Če nadomestimo 9 z a in 16 z b, dobimo: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Predpogoj za identitete je imenovalec, ki ni enak nič (b ≠ 0): tako za formulo za potenciranje kot za formulo za ekstrakcijo korena.

Pretvarjanje decimalnih mest v navadne ulomke in navadnih ulomkov v decimalke

Kateri koli decimalni ulomek je mogoče predstaviti kot navadni ulomek. Če želite to narediti, morate njegov delni del predstaviti kot naravno število in ga deliti z ustrezno potenco 10. Ulomka 0,234 in 0,65 lahko na primer predstavite kot 234/1000 oziroma 65/100. Poleg tega bodo v obeh primerih zveneli enako: dvesto štiriintrideset tisočink in petinšestdeset stotink. Pretvarjate lahko tudi cela števila z ulomki. Na primer, 72,86 je predstavljeno kot 72 (86/100), kjer je 72 celo število, 86/100 pa ulomek.

Na žalost obratna pretvorba - iz navadnega ulomka v decimalko - ni samo težja, ampak tudi ni vedno mogoča. Vsaj - če potrebujete lepo številko z majhnim številom decimalnih mest. Preprosta operacija je samo, če je imenovalec večkratnik 10. Na primer, ulomek 4/100 je mogoče enostavno spremeniti v 0,04 in 345/1000 v 0,345. Toda kako pretvoriti, če je ločilna vrstica številka 7, 11, 14 itd.?

Na primer, vzemimo ulomek 19/44. Če ga želite predstaviti v decimalni obliki, morate 19 razdeliti na 44 v stolpcu, tako da za 19 postavite vejico in ji na desni dodate ničle, dokler ne dosežete želenega vrstnega reda (natančnosti) izračuna. Izračun bo pripeljal do dejstva, da bo številka 0,43181818 ... (18 v obdobju). Število zapišemo kot 0,43 (18) - neskončni periodični decimalni ulomek in ga po potrebi zaokrožimo.

V stolpcu lahko hitro preštejete dvomestna in trimestna števila, ko pa število znakov preseže 4-5, postopek zahteva veliko časa in miselnega napora. Zato se danes za pretvorbo navadnih ulomkov v decimalke (in obratno) uporabljajo posebni spletni kalkulatorji, kjer je dovolj, da vnesete znane vrednosti in takoj dobite pravilen rezultat.

Pretvornik ulomka v decimalno število