😍 Fraction calculator - How to add, subtract, multiply, divide, simplify fractioncalculators

Së bashku me thyesat dhjetore, emëruesit e të cilëve mund të jenë vetëm shumëfisha të dhjetës, thyesat e zakonshme përdoren gjerësisht në matematikë dhe shkenca të ngjashme. Shkruhet si a/b, ku a është numëruesi dhe b është emëruesi. I pari mund të jetë i barabartë me çdo numër dhe i dyti mund të jetë çdo numër përveç zeros.

Koncepti i një thyese

Një thyesë është një shprehje e përfaqësuar si divident/numërues dhe pjesëtues/emërues. Vija horizontale/e pjerrët që i ndan quhet vinculum/solidus dhe mund të shkruhet me shkronja të vogla: a/b. Në varësi të marrëdhënies modulare ndërmjet dividendit dhe pjesëtuesit, ekzistojnë thyesa të zakonshme dhe të parregullta. Në të parën, moduli i numëruesit është më i madh se moduli i emëruesit, dhe në të dytin, anasjelltas.

Rrjedhimisht, nëse pjesëtoni një numër më të madh me një më të vogël, në mënyrë të pashmangshme do të merrni një numër racional - më të madh se një. Shembuj të thyesave të tilla të pasakta janë 6/5, 8/7, 11/3, e kështu me radhë. Reduktimi i tyre është i pamundur, dhe ato regjistrohen në formën e tyre origjinale. Nëse është e nevojshme, ato mund të llogariten duke marrë një numër të plotë dhe një pjesë thyesore: në pjesën e mbetur ose si thyesë dhjetore.

Ka edhe fraksione të përziera dhe të përbëra. E para shkruhet si një numër i plotë jo negativ dhe një thyesë e duhur, dhe e dyta shkruhet si një shprehje që përmban disa vija të pjerrëta/vija horizontale.

Historiku i thyesave

Fraksioni i emrit në anglisht vjen nga latinishtja fractura, por fraksionet e zakonshme u shpikën shumë kohë përpara formimit të Perandorisë Romake. Pra, ndarja e numrave u përdor nga egjiptianët e lashtë - rreth 4000 vjet më parë. Kjo tregohet nga gjetje të tilla arkeologjike si papirusi matematikor Rinda, pllaka druri Akhmim dhe rrotulla matematikore prej lëkure egjiptiane e datuar nga shekulli i 20-të deri në 17-të para Krishtit.

Studime të tjera tregojnë se ndarja e numrave është bërë edhe në Babiloninë e lashtë, më shumë se 3000 vjet më parë. Ishin babilonasit ata që prezantuan ndarjen e një shkalle në 60 minuta dhe minutat në 60 sekonda. Numri 60, përveç vetes dhe një, ndahet me 10 numra të tjerë pa mbetje: nga 2 në 30. Prandaj, në Babiloni nuk përdoreshin thyesa dhjetore, por seksi.

Sistemi i fraksioneve seksagezimale migroi gradualisht nga matematika e lashtë babilonase në matematikën e lashtë greke dhe dihet me siguri se ai u përdor tashmë në shekullin e 1 pas Krishtit: shkencëtarët e lashtë grekë Diofanti i Aleksandrisë dhe Heroni i Aleksandrisë. Thyesat i shkruanin në formë "alfabetike" dhe "të përmbysur". Kjo do të thotë, numëruesi ishte në fund, dhe emëruesi ishte në krye (pa një vijë ndarëse). Për shkak të faktit se grekët e lashtë e kuptonin numrin si një grup njësish, ata rrallë përdornin thyesa të zakonshme në aritmetikë, por ndonjëherë i përdornin ato për të treguar sasi të pakrahasueshme.

Studime të ngjashme u kryen në Kinën e lashtë: nga shekulli i 10-të deri në shekullin e dytë para Krishtit. Fillimisht, kinezët përdorën vetëm fraksione të zakonshme dhe numrat dhjetorë u prezantuan vetëm në shekullin e III pas Krishtit - pas shpikjes së tabelës së numërimit suanpan (算盤). Hindusët e lashtë dhanë gjithashtu një kontribut të rëndësishëm në matematikë. Janë ata që zotërojnë formën moderne të një fraksioni të zakonshëm - numëruesin dhe emëruesin, të ndarë nga një vijë horizontale. Evropianët filluan ta përdorin këtë sistem shumë më vonë - vetëm në shekujt XII-XVI, duke e huazuar atë nga arabët, të cilët, nga ana tjetër, e mësuan këtë njohuri nga indianët.

Mendimtari i parë evropian që përdori thyesat e zakonshme (në formën në të cilën ato ekzistojnë tani) ishte Leonardo i Pizës, i njohur më mirë me pseudonimin e tij Fibonacci. Në vitin 1350, thyesat dhjetore filluan të përdoren në Evropë në llogaritje - falë shkencëtarit francez Immanuel Bonfils, dhe nga viti 1585 ato u bënë kryesoret, duke zëvendësuar sistemin e vjetëruar seksagesimal.

Përdorimi praktik i thyesave

Sot, thyesat e zakonshme përdoren kudo: nga shkencat ekzakte (për të shkruar formula) deri në jetën e përditshme. Për shembull:

Në hartografi. Shkalla tregohet gjithmonë si një thyesë natyrore: 1/50000, 1/1000000. Në vend të shenjës "/", shpesh shkruhet dy pika ":", por do të thotë ndarje, jo numërim.
Në gjeografi. Për shembull, sipas teksteve shkollore, Euroazia zë rreth 1/3 e tokës, dhe Oqeani Paqësor - 1/2 e oqeaneve të botës.
Në mjekësi. Kur përshkruajnë barna, mjekët rrallë tregojnë sasinë e tyre në gram dhe përdorin një sistem fraksional më të përshtatshëm masash: 1/3 shishe, 1/2 tabletë.

Tyesat e zakonshme përdoren edhe në garat sportive: të gjithë dinë shprehje të tilla si "çereku i finales" ose "gjysma e finales". Përkundër faktit se fraksionet dhjetore përdoren gjerësisht në pajisjet elektronike llogaritëse, fraksioni i zakonshëm nuk e ka humbur rëndësinë e tij. Dhe në shkencat e sakta, është thjesht e pamundur të bëhet pa të, pasi një pjesë e konsiderueshme e formulave, në një mënyrë ose në një tjetër, përmbajnë shprehje si a / b.

$Decimal to fractioncalculator calculator$

Ashtu si numrat dhjetorë, thyesat janë të përshtatshme për veprimet themelore matematikore. Mbledhja, zbritja, shumëzimi, pjesëtimi, ngritja në një fuqi, nxjerrja e rrënjëve - këto operacione mund të kryhen me çdo shprehje të paraqitur si a / b, ku b nuk është e barabartë me zero. Përveç kësaj, një dhjetore mund të përfaqësohet gjithmonë si një thyesë e zakonshme dhe një thyesë e zakonshme pothuajse gjithmonë mund të shndërrohet në një dhjetore.

Aritmetika me thyesa

Krahasimi i thyesave

Veprimi bazë që i paraprin mbledhjes dhe zbritjes është krahasimi i dy thyesave të zakonshme. Në rastin e shprehjeve 1/3 dhe 2/3, përgjigjja është e qartë: e para është 2 herë më e madhe se e dyta, por si të krahasojmë kur emëruesit e numrave ndryshojnë? Në këtë rast, kryhet një operacion i njohur si reduktimi në një emërues të përbashkët.

Nëse marrim thyesat 1/4 dhe 3/7, emëruesi i përbashkët i tyre do të jetë numri 4 ⋅ 7, ose 28. Prandaj, ne shumëzojmë 1 ⋅ 7 dhe 3 ⋅ 4 dhe marrim numëruesit 7 dhe 12 me të njëjtin emërues 28. Pra, i pari më i vogël se i dyti: 7/28 < 12/28, dhe 1/4 < 3/7. Dhe raporti i tyre është 7/12.

Mbledhja dhe zbritja

Për të shtuar dy thyesa të zakonshme, ato gjithashtu duhet të reduktohen në një emërues të përbashkët, dhe më pas t'i shtohet dividenti i parë të dytit, duke e lënë pjesëtuesin të pandryshuar. Për shembull, nëse shtoni thyesat 1/3 dhe 2/4, marrim: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Thjeshtoni dhe merrni: 5/6.

Zbritja ndodh sipas një algoritmi të ngjashëm: së pari, gjendet një emërues i përbashkët dhe më pas i dyti zbritet nga numëruesi i parë. Nëse marrim thyesat 3/4 dhe 1/5, marrim: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Shumëzimi dhe pjesëtimi

Për të shumëzuar thyesat, reduktimi në një emërues të përbashkët nuk kërkohet, dividentët dhe pjesëtuesit thjesht shumëzohen së bashku. Në përgjithësi, formula duket kështu: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Për shembull, merrni thyesat 5/6 dhe 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Nëse një thyesë e zakonshme shumëzohet me një numër natyror, atëherë vetëm numëruesi është i përfshirë në veprim. Kjo është: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Ndarja e thyesave të zakonshme kryhet sipas skemës së kundërt. Pra, për të pjesëtuar thyesën a/b me thyesën c/d, duhet të shumëzoni a/b me d/c. Duke zëvendësuar numrat natyrorë në vend të ndryshoreve, marrim: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, ose 1 (5/6), ku pjesa e mbetur tregohet në kllapa. Kushti kryesor është që emëruesi i thyesës së parë dhe numëruesi i së dytës të mos jenë të barabartë me zero, pasi pjesëtimi me 0 është i pamundur.

Përhapja dhe nxjerrja e rrënjës

Këto veprime në rastin e thyesave të zakonshme janë më të thjeshtat, pasi nuk kërkojnë gjetjen e një emëruesi të përbashkët ose kthimin e thyesave. Formula e përgjithshme për fuqizimin është: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Duke zëvendësuar numrat në vend të variablave, marrim: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Nxjerrja e rrënjës kryhet në mënyrë të ngjashme, sipas formulës: √(a/b) = √a/√b. Nëse zëvendësojmë 9 për a dhe 16 për b, marrim: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. Një parakusht për identitetet është një emërues i ndryshëm nga zero (b ≠ 0): si për formulën e fuqisë ashtu edhe për formulën e nxjerrjes së rrënjës.

Konvertimi i numrave dhjetorë në thyesa të zakonshme dhe i thyesave të zakonshme në dhjetore

Çdo thyesë dhjetore mund të paraqitet si një thyesë e zakonshme. Për ta bërë këtë, ju duhet të paraqisni pjesën e tij thyesore si një numër natyror dhe ta pjestoni atë me fuqinë e duhur prej 10. Për shembull, thyesat 0,234 dhe 0,65 mund të përfaqësohen respektivisht si 234/1000 dhe 65/100. Për më tepër, në të dyja rastet ato do të tingëllojnë njësoj: dyqind e tridhjetë e katër mijë e gjashtëdhjetë e pesë të qindtat. Ju gjithashtu mund të konvertoni numra të plotë me mbetje thyesore. Për shembull, 72.86 përfaqësohet si 72 (86/100), ku 72 është pjesa e plotë dhe 86/100 është pjesa thyesore.

Për fat të keq, konvertimi i kundërt - nga një thyesë e zakonshme në një dhjetore - është jo vetëm më e vështirë, por edhe jo gjithmonë e mundur. Të paktën - nëse keni nevojë për një numër të bukur me një numër të vogël të numrave dhjetorë. Një veprim i thjeshtë është vetëm nëse emëruesi është shumëfish i 10-ës. Për shembull, thyesa 4/100 mund të shndërrohet lehtësisht në 0,04 dhe 345/1000 në 0,345. Por si të konvertohet nëse vija ndarëse është numri 7, 11, 14, e kështu me radhë?

Për shembull, le të marrim thyesën 19/44. Për ta paraqitur atë në formë dhjetore, duhet të ndani 19 me 44 në një kolonë, duke vendosur presje pas 19 dhe duke shtuar zero në të djathtë derisa të arrihet rendi (saktësia) e dëshiruar e llogaritjes. Llogaritja do të çojë në faktin se numri do të jetë 0.43181818 ... (18 në periudhën). Ne e shkruajmë numrin si 0,43 (18) - një thyesë dhjetore periodike të pafundme dhe e rrumbullakojmë nëse është e nevojshme.

Mund të numëroni shpejt numrat dyshifrorë dhe treshifrorë në një kolonë, por kur numri i karaktereve kalon 4-5, procedura kërkon shumë kohë dhe përpjekje mendore. Prandaj, sot, për të kthyer fraksionet e zakonshme në dhjetore (dhe anasjelltas), përdoren kalkulatorë specialë në internet, ku mjafton të futni vlerat e njohura dhe të merrni menjëherë rezultatin e saktë.

Fraction to decimal calculator