😍 Bråkräknare

Tillsammans med decimalbråk, vars nämnare bara kan vara multiplar av tio, används vanliga bråk i stor utsträckning inom matematik och relaterade vetenskaper. Det skrivs som a/b, där a är täljaren och b är nämnaren. Det första kan vara lika med vilket tal som helst, och det andra kan vara vilket tal som helst utom noll.

Begreppet bråk

Ett bråk är ett uttryck representerat som en utdelning/täljare och en divisor/nämnare. Den horisontella/lutande linjen som skiljer dem åt kallas vinculum/solidus och kan skrivas med gemener: a/b. Beroende på det modulära förhållandet mellan utdelningen och divisorn finns det vanliga och oegentliga ordinarie bråk. I den första är täljarmodulen större än nämnarmodulen och i den andra, vice versa.

Om du dividerar ett större tal med ett mindre får du oundvikligen ett rationellt tal - större än ett. Exempel på sådana oegentliga fraktioner är 6/5, 8/7, 11/3 och så vidare. Det är omöjligt att reducera dem, och de är registrerade i sin ursprungliga form. Om det behövs kan de beräknas genom att erhålla ett heltal och en bråkdel: i resten eller som ett decimaltal.

Det finns också blandade och sammansatta fraktioner. Det första skrivs som ett icke-negativt heltal och ett egenbråk, och det andra skrivs som ett uttryck som innehåller flera snedstreck/horisontella linjer.

Historik över bråk

Det engelska namnet fraktion kommer från latinets fractura, men vanliga fraktioner uppfanns långt före bildandet av det romerska imperiet. Så, uppdelningen av siffror användes av de gamla egyptierna - för cirka 4000 år sedan. Detta indikeras av sådana arkeologiska fynd som Rindas matematiska papyrus, Akhmim-trätavlan och den egyptiska matematiska läderrullen som dateras från 1900- till 1600-talen f.Kr.

Andra studier tyder på att nummerdelning också gjordes i det antika Babylon för mer än 3 000 år sedan. Det var babylonierna som införde uppdelningen av en grad i 60 minuter och minuter i 60 sekunder. Talet 60, förutom sig självt och ett, är delbart med ytterligare 10 tal utan rest: från 2 till 30. Följaktligen användes inte decimala, utan sexagesimala bråk i Babylon.

Systemet med sexagesimala fraktioner migrerade gradvis från gammal babylonisk till antik grekisk matematik, och det är tillförlitligt känt att det användes redan på 1:a århundradet e.Kr.: de antika grekiska vetenskapsmännen Diophantus av Alexandria och Heron av Alexandria. De skrev bråk i "alfabetisk" form och i "inverterad" form. Det vill säga, täljaren var längst ner och nämnaren var överst (utan en skiljelinje). På grund av det faktum att de gamla grekerna förstod talet som en uppsättning enheter använde de sällan vanliga bråk i aritmetik, utan använde dem ibland för att beteckna inkommensurable storheter.

Liknande studier utfördes i det antika Kina: från 900-talet till 200-talet f.Kr. Inledningsvis använde kineserna bara vanliga bråktal, och decimaler introducerades först på 300-talet e.Kr. - efter uppfinningen av räknebordet suanpan (算盤). De gamla hinduerna gjorde också ett betydande bidrag till matematiken. Det är de som äger den moderna formen av ett vanligt bråk - täljaren och nämnaren, åtskilda av en horisontell linje. Européer började använda detta system mycket senare - först under XII-XVI århundradena och lånade det från araberna, som i sin tur lärde sig denna kunskap från indianerna.

Den första europeiska tänkaren som använde vanliga bråk (i den form de finns i nu) var Leonardo av Pisa, mer känd under sitt smeknamn Fibonacci. År 1350 började decimalfraktioner användas i Europa i beräkningar - tack vare den franske vetenskapsmannen Immanuel Bonfils, och från 1585 blev de de viktigaste och ersatte det föråldrade sexagesimala systemet.

Praktisk användning av bråk

Idag används vanliga bråk överallt: från de exakta vetenskaperna (för att skriva formler) till vardagslivet. Till exempel:

I kartografi. Skalan anges alltid som en naturlig bråkdel: 1/50000, 1/1000000. Istället för tecknet "/" skrivs ofta ett kolon ":", men det betyder division, inte uppräkning.
Inom geografi. Till exempel, enligt läroböcker, upptar Eurasien cirka 1/3 av landet och Stilla havet - 1/2 av världens hav.
Inom medicin. Vid förskrivning av läkemedel anger läkare sällan mängden i gram, och använder ett mer bekvämt delsystem av mått: 1/3 flaska, 1/2 tablett.

Vanliga bråkdelar används även i idrottstävlingar: alla känner till sådana uttryck som "en kvart av finalen" eller "en halva av finalen". Trots det faktum att decimalbråk används i stor utsträckning i elektroniska datorenheter, har den vanliga bråken inte förlorat sin relevans. Och inom de exakta vetenskaperna är det helt enkelt omöjligt att klara sig utan det, eftersom en betydande del av formlerna, på ett eller annat sätt, innehåller uttryck som a / b.

Precis som decimaler lämpar sig bråk för grundläggande matematiska operationer. Addition, subtraktion, multiplikation, division, höjning till en potens, extrahering av rötter - dessa operationer kan utföras med alla uttryck representerade som a / b, där b inte är lika med noll. Dessutom kan en decimal alltid representeras som en vanlig bråkdel, och en vanlig bråkdel kan nästan alltid konverteras till en decimal.

Aritmetik med bråk

Jämföra bråk

Den grundläggande operationen som föregår addition och subtraktion är jämförelsen av två vanliga bråk. När det gäller uttrycken 1/3 och 2/3 är svaret uppenbart: det första är 2 gånger större än det andra, men hur jämför man när nämnarna för talen skiljer sig åt? I det här fallet utförs en operation som kallas reduktion till en gemensam nämnare.

Om vi tar bråken 1/4 och 3/7 blir deras gemensamma nämnare talet 4 ⋅ 7, eller 28. Följaktligen korsmultiplicerar vi 1 ⋅ 7 och 3 ⋅ 4 och får täljarna 7 och 12 med samma nämnare 28. Så den första mindre än den andra: 7/28 < 12/28, och 1/4 < 3/7. Och deras förhållande är 7/12.

Addition och subtraktion

För att lägga till två vanliga bråk måste de också reduceras till en gemensam nämnare och sedan lägga till den första utdelningen till den andra, så att divisorn lämnas oförändrad. Om du till exempel lägger till bråken 1/3 och 2/4 får vi: 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12. Förenkla och få: 5/6.

Subtraktion sker enligt en liknande algoritm: först hittas en gemensam nämnare och sedan subtraheras den andra från den första täljaren. Om vi tar bråken 3/4 och 1/5 får vi: 3/4 - 1/5 = 15/20 - 4/20 = 11/20.

Multiplikation och division

För att multiplicera bråk krävs ingen reduktion till en gemensam nämnare, utdelningar och divisorer multipliceras helt enkelt med varandra. Generellt ser formeln ut så här: (a/b) ⋅ (c/d) = (a ⋅ c)/(b ⋅ d). Ta till exempel bråken 5/6 och 1/4: (5/6) ⋅ (1/3) = (5 ⋅ 1)/(6 ⋅ 3) = 5/18. Om ett vanligt bråk multipliceras med ett naturligt tal, är bara täljaren inblandad i operationen. Det vill säga: (1/5) ⋅ 3 = 1 ⋅ 3/5 = 3/5.

Indelningen av vanliga fraktioner utförs enligt det omvända schemat. Så för att dividera bråket a/b med bråket c/d måste du multiplicera a/b med d/c. Genom att ersätta naturliga tal istället för variabler får vi: (1/3) / (2/11) = (1/3) ⋅ (11/2) = (1 ⋅ 11)/(3 ⋅ 2) = 11/6, eller 1 (5/6), där resten anges inom parentes. Huvudvillkoret är att nämnaren för den första bråkdelen och täljaren för den andra inte får vara lika med noll, eftersom division med 0 är omöjlig.

Exponentiering och rotextraktion

Dessa operationer i fallet med vanliga bråk är de enklaste, eftersom de inte kräver att hitta en gemensam nämnare eller vända bråk. Den allmänna formeln för exponentiering är: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Genom att ersätta tal istället för variabler får vi: (2/3)² = 2²/3² = 4/9.

Extraktionen av roten utförs på liknande sätt, enligt formeln: √(a/b) = √a/√b. Om vi ersätter 9 med a och 16 för b får vi: √(9/16) = √9/√16 = 3/4. En förutsättning för identiteter är en annan nämnare än noll (b ≠ 0): både för exponentieringsformeln och för rotextraktionsformeln.

Konvertera decimaler till vanliga bråktal och vanliga bråktal till decimaler

Alla decimalbråk kan representeras som ett vanligt bråktal. För att göra detta måste du representera dess bråkdel som ett naturligt tal och dividera det med lämplig potens av 10. Till exempel kan bråken 0,234 och 0,65 representeras som 234/1000 respektive 65/100. Dessutom kommer de i båda fallen att låta likadant: tvåhundratrettiofyra tusendelar och sextiofem hundradelar. Du kan också konvertera heltal med bråkdelar. Till exempel representeras 72,86 som 72 (86/100), där 72 är heltalsdelen och 86/100 är bråkdelen.

Tyvärr är den omvända omvandlingen - från ett vanligt bråktal till ett decimaltal - inte bara svårare, utan också inte alltid möjligt. Åtminstone - om du behöver ett vackert tal med ett litet antal decimaler. En enkel operation är bara om nämnaren är en multipel av 10. Till exempel kan bråket 4/100 enkelt omvandlas till 0,04 och 345/1000 till 0,345. Men hur konverterar man om avgränsningsraden är siffran 7, 11, 14 och så vidare?

Låt oss till exempel ta bråket 19/44. För att representera det i decimalform måste du dividera 19 med 44 i en kolumn, sätta ett kommatecken efter 19 och lägga till nollor till det till höger tills önskad ordning (noggrannhet) av beräkningen uppnås. Beräkningen kommer att leda till att antalet blir 0,43181818 ... (18 under perioden). Vi skriver talet som 0,43 (18) - en oändlig periodisk decimalbråkdel och avrundar den vid behov.

Du kan snabbt räkna tvåsiffriga och tresiffriga tal i en kolumn, men när antalet tecken överstiger 4-5 tar proceduren mycket tid och mental ansträngning. Därför, idag, för att konvertera vanliga bråk till decimaler (och vice versa), används speciella onlineräknare, där det räcker att ange kända värden omedelbart för att få rätt resultat.

Bråk till decimalomvandlare